Verifique se W=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x=y+2 z\right\} é ou não um subespaço de \Re^{3}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in \Re^{3} \mid x = y + 2z\}
e pede para verificar se W é subespaço de \Re^{3}. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob adição e (iii) ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo em x = y + 2z temos
0 \stackrel{?}{=} 0 + 2\cdot 0,
o que é verdadeiro. Logo, (0,0,0)\in W.

Passo 3

Sejam (x_{1},y_{1},z_{1}) e (x_{2},y_{2},z_{2}) dois vetores de W. Então
x_{1} = y_{1} + 2z_{1}, \qquad x_{2} = y_{2} + 2z_{2}.
Para a soma vale
(x_{1}+x_{2}) \;=\;(y_{1}+y_{2}) \;+\;2(z_{1}+z_{2}),
logo (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}) também satisfaz a relação e está em W. Portanto, W é fechado sob adição.

Passo 4

Seja (x,y,z)\in W e c\in \Re. Como x = y + 2z, multiplicando tudo por c obtemos
c\,x = c\,y + 2(c\,z),
ou seja, (c\,x,c\,y,c\,z) satisfaz x=y+2z e está em W. Logo, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Atendendo aos três requisitos (vetor zero, adição e escalar), concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de \Re^{3}.

Resposta

W é um subespaço de \Re^{3}.

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