Verifique se W=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x=y+2 z\right\} é ou não um subespaço de \Re^{3}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in \Re^3 \mid x = y + 2z\}
e pede para verificar se W é subespaço de \Re^3. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
  1. contém o vetor zero,
  2. é fechado sob soma de vetores,
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Basta checar a equação característica para y=0 e z=0:
x = y + 2z \quad\Longrightarrow\quad x = 0 + 2\cdot 0 = 0.
Logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Sejam u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Por hipótese,
x_1 = y_1 + 2z_1, \quad x_2 = y_2 + 2z_2.
Então
u + v = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,).
A primeira componente satisfaz
x_1 + x_2 = (y_1 + 2z_1) + (y_2 + 2z_2) = (y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2),
ou seja, u+v também satisfaz a equação x=y+2z. Portanto u+v\in W.

Passo 4

Seja \alpha\in\Re e u=(x_1,y_1,z_1)\in W, com x_1=y_1+2z_1. Então
\alpha u = (\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1)
tem primeira componente
\alpha x_1 = \alpha(y_1+2z_1) = (\alpha y_1) + 2(\alpha z_1),
logo \alpha u também satisfaz x=y+2z. Assim \alpha u\in W.

Resposta

W é subespaço de \Re^3.

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