Verifique que w_{x y}=w_{y x}.
w=\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que w_{x y}=w_{y x} para a função
w=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função depende das três variáveis x,y,z.
  • É preciso comparar as derivadas parciais mistas \dfrac{\partial^2 w}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.
  • Note que a expressão envolve uma raiz; a função é suave (tem derivadas de todas as ordens) quando o radicando é estritamente positivo, ou seja para (x,y,z)\neq(0,0,0). No ponto (0,0,0) a função não é diferenciável de forma regular porque a derivada tem divisão por zero. Logo o domínio útil será (x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 2

Definir notação e preparar para derivar. Para simplificar a escrita, defina
r := \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Assim w(x,y,z)=r. Aqui r é a distância do ponto (x,y,z) à origem; é uma função de x,y,z. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais primeiras e, depois, as segundas mistas.

Passo 3

Lembrando a regra da cadeia para derivadas parciais: se w=g(r) com r=r(x,y,z) então
\frac{\partial w}{\partial x}=g'(r)\cdot\frac{\partial r}{\partial x}.
No nosso caso g(t)=t (pois w=r), então g'(t)=1 e logo
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}.
Vamos portanto calcular \dfrac{\partial r}{\partial x}. Como r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, use a regra da cadeia para potências:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando os fatores 2 e reescrevendo em termos de r,
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{x}{r}.
Portanto
\boxed{\;w_{x}=\frac{x}{r}\; }.

Passo 4

De modo semelhante calcule w_{y}. Aplicando o mesmo raciocínio:
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{r},
portanto
\boxed{\;w_{y}=\frac{y}{r}\; }.

Passo 5

Agora vamos calcular w_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(w_x\big)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{x}{r}\right).
Aqui x é tratado como constante ao derivar em relação a y. Usamos a regra da cadeia para a função 1/r. Primeiro observe que
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{\partial r}{\partial y}.
Já sabemos \dfrac{\partial r}{\partial y}=\dfrac{y}{r}, então
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{y}{r}=-\frac{y}{r^{3}}.
Multiplicando por x (que é constante na derivação em y),
w_{x y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x}{r}\right)=x\cdot\left(-\frac{y}{r^{3}}\right)=-\frac{x y}{r^{3}}.

Passo 6

Calcule agora w_{y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(w_y\big)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{y}{r}\right).
Analogamente, y é constante ao derivar em x. Usando o mesmo passo para \partial(1/r)/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}=-\frac{x}{r^{3}}.
Multiplicando por y,
w_{y x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{r}\right)=y\cdot\left(-\frac{x}{r^{3}}\right)=-\frac{x y}{r^{3}}.

Passo 7

Comparando os resultados obtidos nos passos anteriores:
w_{x y}=-\frac{x y}{r^{3}} \qquad\text{e}\qquad w_{y x}=-\frac{x y}{r^{3}}.
Portanto as duas derivadas mistas coincidem para todo ponto com r\neq 0 (ou seja (x,y,z)\neq(0,0,0)). Além da verificação direta por cálculo, pode-se também justificar a igualdade aplicando o teorema de Clairaut (ou Schwarz): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas numa vizinhança do ponto, então as mistas são iguais — condição satisfeita aqui quando r>0.

Resposta

w_{x y}=w_{y x}=-\dfrac{x y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} para (x,y,z)\neq(0,0,0).

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