Verifique que
.
w=\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}
w=\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
para a função
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função depende das três variáveis
. - É preciso comparar as derivadas parciais mistas
e . - Note que a expressão envolve uma raiz; a função é suave (tem derivadas de todas as ordens) quando o radicando é estritamente positivo, ou seja para
. No ponto a função não é diferenciável de forma regular porque a derivada tem divisão por zero. Logo o domínio útil será .
Passo 2
Definir notação e preparar para derivar. Para simplificar a escrita, defina
Assim
. Aqui
é a distância do ponto
à origem; é uma função de
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais primeiras e, depois, as segundas mistas.
Passo 3
Lembrando a regra da cadeia para derivadas parciais: se
com
então
No nosso caso
(pois
), então
e logo
Vamos portanto calcular
. Como
, use a regra da cadeia para potências:
Simplificando os fatores
e reescrevendo em termos de
,
Portanto
Passo 4
De modo semelhante calcule
. Aplicando o mesmo raciocínio:
portanto
Passo 5
Agora vamos calcular
.
Aqui é tratado como constante ao derivar em relação a
. Usamos a regra da cadeia para a função
. Primeiro observe que
Aqui
Já sabemos
, então
Multiplicando por
(que é constante na derivação em
),
Passo 6
Calcule agora
.
Analogamente, é constante ao derivar em
. Usando o mesmo passo para
:
Analogamente,
Multiplicando por
,
Passo 7
Comparando os resultados obtidos nos passos anteriores:
Portanto as duas derivadas mistas coincidem para todo ponto com
(ou seja
). Além da verificação direta por cálculo, pode-se também justificar a igualdade aplicando o teorema de Clairaut (ou Schwarz): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas numa vizinhança do ponto, então as mistas são iguais — condição satisfeita aqui quando
.