Sejam U, V \subset \mathbb{R}^{4} subespaços gerados pelos conjuntos abaixos
\begin{aligned} U & =\{(1,2,3,4),(2,1,3,1),(-1,2,-1,9)\} \\\ V & =\{(-1,0,0,2),(2,1,3,4),(1,0,1,0)\} \end{aligned}
determine as bases dos seguintes subespaços: U, V, U+V, U \cap V

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^4
U=\operatorname{span}\{u_1,u_2,u_3\},\quad u_1=(1,2,3,4),\;u_2=(2,1,3,1),\;u_3=(-1,2,-1,9),
V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\},\quad v_1=(-1,0,0,2),\;v_2=(2,1,3,4),\;v_3=(1,0,1,0).
Queremos extrair bases de U, de V, de U+V e de U\cap V. Para isso usamos:
  • teste de independência linear via eliminação de Gauss para extrair bases mínimas;
  • no caso de U+V, pegamos todos os geradores e extraímos um subconjunto independente;
  • para U\cap V, igualamos combinações lineares e resolvemos o sistema associado para descobrir o espaço de interseção.

Passo 2

Para achar uma base de U, formamos a matriz cujas linhas são u_1,u_2,u_3:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 1 & 3 & 1\\\\ -1 & 2 & -1 & 9 \end{pmatrix}
Fazendo eliminação de Gauss obtemos posto 3, ou seja, u_1,u_2,u_3 são independentes e já formam base de U.

Passo 3

Para achar uma base de V, formamos a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3:
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & 3 & 4\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
A eliminação de Gauss dá posto 3, logo v_1,v_2,v_3 são independentes e constituem base de V.

Passo 4

Para U+V, consideramos os seis vetores u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3 e extraímos um subconjunto independente. Por exemplo, testando sequencialmente u_1,u_2,u_3,v_1 vemos que esses quatro são independentes em \mathbb{R}^4, portanto
\{u_1,u_2,u_3,v_1\}
é uma base de U+V. Assim \dim(U+V)=4.

Passo 5

Para U\cap V, igualamos
a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3 \;=\; b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3
e montamos o sistema linear em a_i,b_j. Resolvendo por eliminação de Gauss, obtemos duas variáveis livres, digamos b_2=s e b_3=t, e o vetor genérico da interseção
x(s,t) =\;s\,(56/19,\,1,\,3,\,40/19)+t\,(23/19,\,0,\,1,\,-8/19).
Multiplicando cada gerador por 19 para limpar denominadores, uma base de U\cap V é
\{(56,\,19,\,57,\,40),\;(23,\,0,\,19,\,-8)\},
mostrando que \dim(U\cap V)=2.

Resposta

Uma escolha de bases é:
Base de U: \{(1,2,3,4),\,(2,1,3,1),\,(-1,2,-1,9)\}
Base de V: \{(-1,0,0,2),\,(2,1,3,4),\,(1,0,1,0)\}
Base de U+V: \{(1,2,3,4),\,(2,1,3,1),\,(-1,2,-1,9),\,(-1,0,0,2)\}
Base de U\cap V: \{(56,19,57,40),\,(23,0,19,-8)\}

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