Verifique que:
X \sim \operatorname{Cauchy}(0,1) se, e somente se, b X+a \sim \operatorname{Cauchy}(a, b), onde a \in \mathbb{R} e b>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família Cauchy é fechada sob transformações afins. Em outras palavras, se X tem distribuição \mathrm{Cauchy}(0,1) e definimos
Y = bX + a,
com a\in\mathbb{R} e b>0, então Y deve ter densidade de uma \mathrm{Cauchy}(a,b). Para isso vamos usar a fórmula de mudança de variável em densidades de probabilidade e depois fazer o recíproco.

Passo 2

Suponha X\sim\mathrm{Cauchy}(0,1). Sua densidade é
f_X(x) = \frac{1}{\pi\bigl(1+x^2\bigr)}.
Defina Y=bX+a. Então X=(Y-a)/b e \dfrac{dx}{dy}=1/b. Pela mudança de variável,
f_Y(y) = f_X\!\bigl((y-a)/b\bigr)\cdot\frac{1}{b} = \frac{1}{b}\,\frac{1}{\pi\bigl[1+((y-a)/b)^2\bigr]} = \frac{1}{\pi\,b\Bigl(1+\frac{(y-a)^2}{b^2}\Bigr)}.
Multiplicando numerador e denominador por b^2 obtemos
f_Y(y) = \frac{b}{\pi\bigl(b^2+(y-a)^2\bigr)},
que é exatamente a densidade de \mathrm{Cauchy}(a,b). Logo
X\sim\mathrm{Cauchy}(0,1) \quad\Longrightarrow\quad bX+a\sim\mathrm{Cauchy}(a,b).

Passo 3

Para o recíproco, comece com Y\sim\mathrm{Cauchy}(a,b), cuja densidade é
f_Y(y) = \frac{b}{\pi\bigl(b^2+(y-a)^2\bigr)}.
Considere X=(Y-a)/b. Então y= b x + a e \tfrac{dy}{dx}=b. Aplica-se de novo a mudança de variável:
f_X(x) = f_Y(bx+a)\cdot b = \frac{b}{\pi\bigl(b^2+(b x)^2\bigr)}\;b = \frac{b^2}{\pi\,b^2\,(1+x^2)} = \frac{1}{\pi(1+x^2)},
que é a densidade de \mathrm{Cauchy}(0,1). Assim
bX+a\sim\mathrm{Cauchy}(a,b) \quad\Longrightarrow\quad X\sim\mathrm{Cauchy}(0,1).

Resposta

Ficou demonstrado que
X\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)\quad\Longleftrightarrow\quad bX+a\sim\mathrm{Cauchy}(a,b).

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