Verifique que:
se, e somente se,
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a família Cauchy é fechada sob transformações afins. Em outras palavras, se
tem distribuição
e definimos
com
e
, então
deve ter densidade de uma
. Para isso vamos usar a fórmula de mudança de variável em densidades de probabilidade e depois fazer o recíproco.
Passo 2
Suponha
. Sua densidade é
Defina
. Então
e
. Pela mudança de variável,
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
que é exatamente a densidade de
. Logo
Passo 3
Para o recíproco, comece com
, cuja densidade é
Considere
. Então
e
. Aplica-se de novo a mudança de variável:
que é a densidade de
. Assim
Resposta
Ficou demonstrado que