1- A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é aproximadamente normal, com desvio-padrão de 12 minutos. Selecionou-se uma amostra aleatória de 25 trabalhadores. Com os resultados amostrais, o gerente deseja construir um intervalo de confiança com 95 \% para os dados. Quais das seguintes alternativas é uma interpretação correta do intervalo de confiança?
a) Se o gerente repetir esse processo vários vezes, então aproximadamente 95 \% dos intervalos produzidos vão conter o tempo médio para que o trabalhador execute uma tarefa.
b) Aproximadamente 95 \% dos trabalhadores executam a tarefa no tempo médio encontrado no intervalo.
c) Se o gerente repetir esse processo e criar 20 intervalos a partir de amostras separadas independentes, podemos esperar que aproximadamente 19 desses intervalos contenham o tempo médio para que o trabalhador execute uma tarefa.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo necessário para um trabalhador realizar a tarefa é \emph{aproximadamente} normal com desvio-padrão populacional \sigma = 12 minutos. Selecionou-se uma amostra aleatória de tamanho n = 25 e, com isso, o gerente construiu um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio \mu. A questão pede qual das interpretações a seguir está correta para esse intervalo de confiança.

Passo 2

Lembre-se da definição de intervalo de confiança: um intervalo de confiança de nível 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0,95) para a média \mu é obtido como
\bar X \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da distribuição normal padrão. A interpretação correta é que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um novo intervalo de confiança de mesmo nível para cada amostra, então cerca de 95\% desses intervalos conteriam de fato o valor verdadeiro de \mu.

Passo 3

Agora vamos examinar cada alternativa:
a) “Se o gerente repetir esse processo várias vezes, então aproximadamente 95\% dos intervalos produzidos vão conter o tempo médio para que o trabalhador execute uma tarefa.”
Esta frase coincide exatamente com a interpretação clássica de um intervalo de confiança de 95\%.
b) “Aproximadamente 95\% dos trabalhadores executam a tarefa no tempo médio encontrado no intervalo.”
Isto está incorreto, pois o intervalo de confiança se refere à incerteza sobre a média populacional \mu, não à proporção de indivíduos que realizam a tarefa em determinado tempo.
c) “Se o gerente repetir esse processo e criar 20 intervalos a partir de amostras separadas independentes, podemos esperar que aproximadamente 19 desses intervalos contenham o tempo médio para que o trabalhador execute uma tarefa.”
Embora faça um cálculo 0,95 \times 20 = 19 e essa seja a \emph{expectativa} de quantos, em média, dos 20 conterão \mu, a interpretação direta e usual do nível de confiança é melhor exposta na alternativa (a). A alternativa (c) é uma consequência, mas não é a forma tradicional de explicação.

Resposta

(a) Se o gerente repetir esse processo vários vezes, então aproximadamente 95\% dos intervalos produzidos vão conter o tempo médio para que o trabalhador execute uma tarefa.

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