Verifique que X é um vetor solução do sistema dado.
ld xd t=3 x-4 y d yd t=4 x-7 y, com X=binom12 e^-5 t

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
dfracdxdt=3x-4y,[6pt] dfracdydt=4x-7y,
e o candidato a solução vetorial
X(t)=binom12e^-5t
Vamos mostrar que X'(t)=AX(t), onde
A=3 & -4[3pt]4 & -7 ]

Passo 2

Calculemos a derivada de X(t). Como binom12 é constante, temos
X'(t) =binom12,ddtl(e^-5tr) =binom12,(-5)e^-5t =-5binom12e^-5t

Passo 3

Agora calculamos AX(t):
AX(t) =3 & -4[3pt]4 & -7 binom12e^-5t =binom3cdot1-4cdot24cdot1-7cdot2e^-5t =binom-5-10e^-5t =-5binom12e^-5t ]

Passo 4

Comparando, vemos que
X'(t)=-5binom12e^-5t e AX(t)=-5binom12e^-5t,
logo X'(t)=AX(t).

Resposta

Isso mostra que X(t)=binom12e^-5t é de fato uma solução do sistema dado.

Exercícios relacionados