Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x}=6 x+y_{1}^{2}

Passo 1

O enunciado pede: classificar a equação diferencial dada sem resolvê‑la. A equação fornecida é
\frac{d y}{d x}=6 x+y_{1}^{2}.
Informações relevantes que temos: a incógnita dependente está escrita como y_{1} (ou seja, pense em y_{1}=y_{1}(x)) e a variável independente é x. A classificação deve indicar se a equação é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli (uma mesma equação pode pertencer a mais de um tipo, mas aqui iremos testar cada definição).

Passo 2

O que significa “separável” e como testar: uma equação de primeira ordem é separável se pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=f(x)\,g(y),
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y. Para testar, tentamos ver se 6x+y_{1}^{2} pode ser fatorado nessa forma. Note que 6x+y_{1}^{2} é soma de um termo que depende só de x e de um termo que depende só de y_{1}; somas não são produtos em geral. Não existe fatorização em f(x)g(y_{1}) para todo x,y_{1}. Portanto a equação não é separável.

Passo 3

O que significa “exata” e como testar: escrevemos a equação na forma implícita
M(x,y_{1})\,dx+N(x,y_{1})\,dy_{1}=0.
Uma forma comum é passar tudo para um lado:
-6x - y_{1}^{2} + \frac{dy_{1}}{dx}=0.
Colocando no formato M+N y_{1}'=0 obtemos M(x,y_{1})=-(6x+y_{1}^{2}) e N(x,y_{1})=1. A condição de exatidão (para funções M,N com derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y_{1}}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y_{1}}=-2y_{1},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como -2y_{1}\neq 0 em geral, a igualdade não vale, logo a equação não é exata (salvo se existisse um fator integrante, mas isso não a torna exata sem esse fator; a classificação pedida é se é exata como está).

Passo 4

O que significa “linear” e como testar: uma equação de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
\frac{dy_{1}}{dx}+P(x)\,y_{1}=Q(x),
ou equivalentemente a dependência em y_{1} aparece só na primeira potência (grau 1) e coeficientes dependem apenas de x. Reescrevendo a nossa equação,
\frac{dy_{1}}{dx}-y_{1}^{2}=6x.
Aqui aparece o termo y_{1}^{2}, que é de potência 2 em relação a y_{1}. Isso quebra a linearidade: não há forma de escrever a equação com y_{1} apenas na potência 1. Portanto a equação não é linear.

Passo 5

O que significa “homogênea” e como testar: uma função F(x,y_{1}) é homogênea de grau k se satisfaz F(tx,ty_{1})=t^{k}F(x,y_{1}) para todo t. Uma equação de forma \frac{dy_{1}}{dx}=F(x,y_{1}) é dita homogênea (no sentido que dá lugar à substituição y_{1}=vx) quando F é homogênea de grau 0, ou seja, quando F pode ser escrita como função de y_{1}/x apenas. No nosso caso
F(x,y_{1})=6x+y_{1}^{2}.
Os termos têm graus diferentes em (x,y_{1}): 6x é homogêneo de grau 1 e y_{1}^{2} é homogêneo de grau 2. Como não há um único grau comum, F não é homogênea e a equação não é homogênea.

Passo 6

O que significa “Bernoulli” e como testar: a equação de Bernoulli tem a forma
\frac{dy_{1}}{dx}+P(x)\,y_{1}=Q(x)\,y_{1}^{n},
onde n é um número real e P,Q dependem apenas de x. Para testar, devemos ser capazes de reunir todos os termos de y_{1} de modo que apareça um termo linear em y_{1} e um termo proporcional a y_{1}^{n}, sem termos independentes de y_{1} separados. Reescrevendo a equação:
\frac{dy_{1}}{dx}-y_{1}^{2}=6x.
Aqui além do termo y_{1}^{2} existe um termo 6x que é independente de y_{1}. A presença desse termo independente impede a forma padrão de Bernoulli (porque o membro direito não pode conter também um termo que dependa só de x e não multiplicando uma potência de y_{1}). Assim, a equação não está na forma de Bernoulli (não é uma Bernoulli pura).

Passo 7

Resumo das verificações: vimos passo a passo os testes para cada tipo (separabilidade, exatidão, linearidade, homogeneidade e Bernoulli) aplicados à função F(x,y_{1})=6x+y_{1}^{2} e concluímos que nenhum dos critérios é satisfeito.

Resposta

separável: não\nexata: não\nlinear: não\nhomogênea: não\nBernoulli: não

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