Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x}=6 x+y_{1}^{2}
\frac{d y}{d x}=6 x+y_{1}^{2}
Passo 1
O enunciado pede: classificar a equação diferencial dada sem resolvê‑la. A equação fornecida é
Informações relevantes que temos: a incógnita dependente está escrita como
(ou seja, pense em
) e a variável independente é
. A classificação deve indicar se a equação é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli (uma mesma equação pode pertencer a mais de um tipo, mas aqui iremos testar cada definição).
Passo 2
O que significa “separável” e como testar: uma equação de primeira ordem é separável se pode ser escrita como
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
. Para testar, tentamos ver se
pode ser fatorado nessa forma. Note que
é soma de um termo que depende só de
e de um termo que depende só de
; somas não são produtos em geral. Não existe fatorização em
para todo
. Portanto a equação não é separável.
Passo 3
O que significa “exata” e como testar: escrevemos a equação na forma implícita
Uma forma comum é passar tudo para um lado:
Colocando no formato
obtemos
e
. A condição de exatidão (para funções
com derivadas parciais contínuas) é
Calculemos:
Como
em geral, a igualdade não vale, logo a equação não é exata (salvo se existisse um fator integrante, mas isso não a torna exata sem esse fator; a classificação pedida é se é exata como está).
Passo 4
O que significa “linear” e como testar: uma equação de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
ou equivalentemente a dependência em
aparece só na primeira potência (grau 1) e coeficientes dependem apenas de
. Reescrevendo a nossa equação,
Aqui aparece o termo
, que é de potência 2 em relação a
. Isso quebra a linearidade: não há forma de escrever a equação com
apenas na potência 1. Portanto a equação não é linear.
Passo 5
O que significa “homogênea” e como testar: uma função
é homogênea de grau
se satisfaz
para todo
. Uma equação de forma
é dita homogênea (no sentido que dá lugar à substituição
) quando
é homogênea de grau
, ou seja, quando
pode ser escrita como função de
apenas. No nosso caso
Os termos têm graus diferentes em
:
é homogêneo de grau
e
é homogêneo de grau
. Como não há um único grau comum,
não é homogênea e a equação não é homogênea.
Passo 6
O que significa “Bernoulli” e como testar: a equação de Bernoulli tem a forma
onde
é um número real e
dependem apenas de
. Para testar, devemos ser capazes de reunir todos os termos de
de modo que apareça um termo linear em
e um termo proporcional a
, sem termos independentes de
separados. Reescrevendo a equação:
Aqui além do termo
existe um termo
que é independente de
. A presença desse termo independente impede a forma padrão de Bernoulli (porque o membro direito não pode conter também um termo que dependa só de
e não multiplicando uma potência de
). Assim, a equação não está na forma de Bernoulli (não é uma Bernoulli pura).
Passo 7
Resumo das verificações: vimos passo a passo os testes para cada tipo (separabilidade, exatidão, linearidade, homogeneidade e Bernoulli) aplicados à função
e concluímos que nenhum dos critérios é satisfeito.
Resposta
separável: não\nexata: não\nlinear: não\nhomogênea: não\nBernoulli: não