Resolva a equação diferencial dada.
\left(1-2 x^{2}-2 y\right) \frac{d y}{d x}=4 x^{3}+4 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(1-2 x^{2}-2 y\right)\frac{d y}{d x}=4 x^{3}+4 x y.
Informações dadas (tudo que temos):
  • A equação relaciona y, x e \dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condições iniciais; deve-se encontrar a solução geral com constante de integração.
    O objetivo é obter y(x) (ou uma relação implícita envolvendo x e y) que satisfaça a equação diferencial.

Passo 2

Observação e ideia útil (motivação da substituição): note que o lado direito pode ser fatorado e o lado esquerdo envolve a combinação x^{2}+y. Escrevendo o numerador do lado direito:
4x^{3}+4xy=4x\bigl(x^{2}+y\bigr).
O fator que aparece no denominador também é 1-2(x^{2}+y). Assim surge uma boa escolha de variável que simplifica muito a equação:
definir
v(x)=x^{2}+y(x).
Esta escolha é natural porque tanto o numerador quanto o denominador da equação original dependem exatamente de x^{2}+y.

Passo 3

Calcular a derivada de y em termos de v: como v=x^{2}+y, temos
y=v-x^{2},
e diferenciando em relação a x,
\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dx}-2x.
Vou usar isso para substituir \dfrac{dy}{dx} na equação original.

Passo 4

Substituir v e \dfrac{dy}{dx} na equação original. A equação original escrita em termos de v fica
\bigl(1-2v\bigr)\Bigl(\frac{dv}{dx}-2x\Bigr)=4x\cdot v.
Agora expandir o produto à esquerda e isolar o termo com \dfrac{dv}{dx}:
(1-2v)\frac{dv}{dx}-2x(1-2v)=4xv.
Somando 2x(1-2v) aos dois lados:
(1-2v)\frac{dv}{dx}=2x(1-2v)+4xv.
No lado direito fatoramos 2x:
2x(1-2v)+4xv=2x\bigl(1-2v+2v\bigr)=2x.
Portanto a equação simplificada é
(1-2v)\frac{dv}{dx}=2x.

Passo 5

Separar variáveis e integrar. Assumimos temporariamente 1-2v\neq0 para poder dividir; (veremos comentário sobre 1-2v=0 depois). Reescrevendo:
\frac{dv}{dx}=\frac{2x}{1-2v}.
Separando variáveis:
(1-2v)\,dv=2x\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int(1-2v)\,dv=\int 2x\,dx.
Calculemos as integrais passo a passo:
\int(1-2v)\,dv=\int 1\,dv-\int 2v\,dv=v-v^{2}+C_1,
\int 2x\,dx=x^{2}+C_2.
Igualando (absorvendo constantes em uma só constante C):
v-v^{2}=x^{2}+C,
onde C é a constante de integração geral.

Passo 6

Voltar à variável original y. Lembrando que v=x^{2}+y, substitui-se:
(x^{2}+y)-\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}=x^{2}+C.
Essa é a forma implícita da solução geral. Se quiser, pode-se rearranjar em forma quadrática em v (ou em y):
em v:
v^{2}-v+x^{2}+C=0,
o que dá explicitamente
v=\frac{1\pm\sqrt{\,1-4(x^{2}+C)\,}}{2}.
Como y=v-x^{2}, uma forma explícita para y é
y=-x^{2}+\frac{1\pm\sqrt{\,1-4x^{2}-4C\,}}{2}.

Passo 7

Discussão rápida sobre a possibilidade 1-2v=0. Se 1-2v=0 então v=\tfrac{1}{2} seria uma curva candidata; mas substituindo na equação original obtém-se 0= 4x\cdot \tfrac{1}{2}=2x, que só vale para x=0. Logo v=\tfrac{1}{2} não é uma solução válida para todos os x (não é solução singular global), então a separação feita em Passo 5 não perde soluções relevantes além de pontos isolados.

Resposta

(x^{2}+y)-\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}=x^{2}+C
y=-x^{2}+\dfrac{1\pm\sqrt{\,1-4x^{2}-4C\,}}{2}

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