Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas (tudo que temos):
- A equação relaciona
, e . - Não há condições iniciais; deve-se encontrar a solução geral com constante de integração.
O objetivo é obter(ou uma relação implícita envolvendo e ) que satisfaça a equação diferencial.
Passo 2
Observação e ideia útil (motivação da substituição): note que o lado direito pode ser fatorado e o lado esquerdo envolve a combinação
. Escrevendo o numerador do lado direito:
O fator que aparece no denominador também é
. Assim surge uma boa escolha de variável que simplifica muito a equação:
definir
definir
Esta escolha é natural porque tanto o numerador quanto o denominador da equação original dependem exatamente de
.
Passo 3
Calcular a derivada de
em termos de
: como
, temos
e diferenciando em relação a
,
Vou usar isso para substituir
na equação original.
Passo 4
Substituir
e
na equação original. A equação original escrita em termos de
fica
Agora expandir o produto à esquerda e isolar o termo com
:
Somando
aos dois lados:
No lado direito fatoramos
:
Portanto a equação simplificada é
Passo 5
Separar variáveis e integrar. Assumimos temporariamente
para poder dividir; (veremos comentário sobre
depois). Reescrevendo:
Separando variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
Calculemos as integrais passo a passo:
Igualando (absorvendo constantes em uma só constante
):
onde
é a constante de integração geral.
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, substitui-se:
Essa é a forma implícita da solução geral. Se quiser, pode-se rearranjar em forma quadrática em
(ou em
):
em
:
o que dá explicitamente
Como
, uma forma explícita para
é
Passo 7
Discussão rápida sobre a possibilidade
. Se
então
seria uma curva candidata; mas substituindo na equação original obtém-se
, que só vale para
. Logo
não é uma solução válida para todos os
(não é solução singular global), então a separação feita em Passo 5 não perde soluções relevantes além de pontos isolados.