Exercício 0.3 Mostre que
0,9999 \cdots=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a representação decimal \,0,9999\ldots
é igual a 1. O conteúdo aqui envolve manipulações algébricas simples com infinitas casas decimais e a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Definimos
x = 0,9999\ldots
Multiplicando ambos os lados por 10, temos
10x = 9,9999\ldots
Agora subtraímos a equação original desta última:
10x - x = 9,9999\ldots - 0,9999\ldots
No lado esquerdo fica 9x e do lado direito 9, pois as infinitas ca­sas “9999…” cancelam-se. Logo
9x = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 3

Como alternativa, escrevemos 0,9999\ldots como série geométrica:
0,9999\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot10^{-n} = 9\sum_{n=1}^{\infty} \bigl(10^{-1}\bigr)^n.
Essa soma vale
9\cdot\frac{10^{-1}}{1 - 10^{-1}} = 9\cdot\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{9}{10}} = 1.

Resposta

Portanto,
0,9999\ldots = 1.

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