Verifique que yp1=3 e^2 x e yp2=x^2+3 x são, respectivamente, soluções particulares de
y^prime prime-6 y^prime+5 y=-9 e^2 x e y^prime prime-6 y^prime+5 y=5 x^2+3 x-16
Verifique que yp1=3 e^2 x e yp2=x^2+3 x são, respectivamente, soluções particulares de
y^prime prime-6 y^prime+5 y=-9 e^2 x e y^prime prime-6 y^prime+5 y=5 x^2+3 x-16

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções
yp1=3e^2x
e
yp2=x^2+3x
são soluções particulares, respectivamente, das equações não-homogêneas
y''-6y'+5y=-9e^2x
y''-6y'+5y=5x^2+3x-16
Para isso vamos calcular as derivadas de cada yp, aplicar o operador L[y]=y''-6y'+5y e mostrar que gera o termo forçante correspondente.

Passo 2

Para yp1=3e^2x temos
y'p1 = ddx(3e^2x) = 6e^2x,
y''p1 = ddx(6e^2x) = 12e^2x

Passo 3

Aplicando o operador L em yp1:
L[yp1] = y''p1 - 6y'p1 +5yp1 = 12e^2x -6,(6e^2x) +5,(3e^2x) = (12 -36 +15),e^2x = -9e^2x,
que coincide com o termo não-homogêneo da primeira equação.

Passo 4

Para yp2=x^2+3x calculamos
y'p2 = 2x +3,
y''p2 = 2

Passo 5

Agora aplicamos o operador L em yp2:
L[yp2] = y''p2 -6y'p2 +5yp2 = 2 -6,(2x+3) +5,(x^2+3x) = 2 -12x -18 +5x^2 +15x = 5x^2 +3x -16,
que é exatamente o termo não-homogêneo da segunda equação.

Resposta

Ficou verificado que
L[yp1]=-9e^2x e L[yp2]=5x^2+3x-16,
logo yp1=3e^2x e yp2=x^2+3x são, respectivamente, soluções particulares das equações dadas.

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