Verify that w_{x y}=w_{y x}.
w=x y^{2}+x^{2} y^{3}+x^{3} y^{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as derivadas parciais mistas de w(x,y)=x\,y^{2}+x^{2}\,y^{3}+x^{3}\,y^{4}
são iguais, ou seja, que \,w_{xy}=w_{yx}.
O conteúdo usado aqui é o cálculo de derivadas parciais de funções de duas variáveis e o teorema de igualdade das derivadas mistas (Clairaut), válido quando as segundas derivadas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
w_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}+x^{2}\,y^{3}+x^{3}\,y^{4}\bigr) = y^{2} + 2x\,y^{3} + 3x^{2}\,y^{4},
w_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}+x^{2}\,y^{3}+x^{3}\,y^{4}\bigr) = 2x\,y + 3x^{2}\,y^{2} + 4x^{3}\,y^{3}.

Passo 3

Agora, derivamos w_x em relação a y para obter w_{xy}:
w_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2} + 2x\,y^{3} + 3x^{2}\,y^{4}\bigr) = 2y + 6x\,y^{2} + 12x^{2}\,y^{3}.

Passo 4

Em seguida, derivamos w_y em relação a x para obter w_{yx}:
w_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,y + 3x^{2}\,y^{2} + 4x^{3}\,y^{3}\bigr) = 2y + 6x\,y^{2} + 12x^{2}\,y^{3}.

Passo 5

Observamos que
w_{xy} = 2y + 6x\,y^{2} + 12x^{2}\,y^{3} \quad\text{e}\quad w_{yx} = 2y + 6x\,y^{2} + 12x^{2}\,y^{3}.
Portanto, concluímos que
w_{xy} = w_{yx}.

Resposta

\displaystyle w_{xy}=w_{yx}.

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