Find f_{x}, f_{y}, and f_{z}.
f(x, y, z)=y z \ln (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=y\,z\,\ln(xy)
com respeito a x, y e z. Vamos usar as regras de derivada parcial, produto e cadeia.

Passo 2

Para \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x} tomamos y e z como constantes. Escrevemos
f(x,y,z)=y\,z\;\ln(xy)
e aplicamos
\frac{d}{dx}\ln(xy)=\frac{1}{xy}\cdot\frac{d}{dx}(x\,y)=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}.
Logo
f_x = y\,z \cdot \frac{1}{x} = \frac{y\,z}{x}.

Passo 3

Para \displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y} tomamos x e z constantes. Usamos a regra do produto em
f=y\,z\;\ln(xy).
Derivando y\,z em relação a y z, e derivando \ln(xy) 1/y. Assim
f_y = z\;\ln(xy) + y\,z\cdot\frac{1}{y} = z\ln(xy) + z = z\bigl(\ln(xy)+1\bigr).

Passo 4

Para \displaystyle f_z=\frac{\partial f}{\partial z} tomamos x e y constantes. Como
f(x,y,z)=\bigl(y\,\ln(xy)\bigr)\,z,
a derivada em relação a z é simplesmente o fator que multiplica z, ou seja
f_z = y\,\ln(xy).

Resposta

f_x = \frac{y\,z}{x},\quad f_y = z\bigl(\ln(xy)+1\bigr),\quad f_z = y\,\ln(xy).

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