Verifique se π_{1} e π_{2} são perpendiculares:
π_{1}:(x, y, z)=(1,1,1)+α(-1,0,-1)+β(4,1,1)
π_{2}:(x, y, z)=(3,1,1)+α(1,-3,1)+β(3,1,0)

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica e pede para verificar se são perpendiculares. Para isso precisamos encontrar um vetor normal a cada plano usando produto vetorial e depois calcular o produto escalar entre esses normais. Se o produto escalar for zero, os planos são perpendiculares.

Passo 2

No plano \pi_{1} os vetores diretores são
v_{1}=(-1,0,-1),\quad v_{2}=(4,1,1).
O vetor normal \mathbf{n}_{1} é
\mathbf{n}_{1} = v_{1}\times v_{2} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} = (1,\,-3,\,-1).

Passo 3

No plano \pi_{2} os vetores diretores são
w_{1}=(1,-3,1),\quad w_{2}=(3,1,0).
O vetor normal \mathbf{n}_{2} é
\mathbf{n}_{2} = w_{1}\times w_{2} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -3 & 1\\\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} = (-1,\;3,\;10).

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\mathbf{n}_{1}\cdot \mathbf{n}_{2} = 1\cdot(-1)+(-3)\cdot3+(-1)\cdot10 = -1 -9 -10 = -20.
Como esse valor é diferente de zero, os vetores normais não são perpendiculares.

Resposta

Não. Os planos \pi_{1} e \pi_{2} não são perpendiculares, pois \mathbf{n}_{1}\cdot \mathbf{n}_{2}=-20\neq0.

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