A very long insulating cylinder of charge of radius 2.50 cm carries a uniform linear density of
. If you put one probe of a voltmeter at the surface, how far from the surface must the other probe be placed so that the voltmeter reads 175 V ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cilindro isolante (super comprido, “infinito” na prática) de raio
cm com densidade linear de carga
nC/m. Um dos terminais do voltímetro fica grudado na superfície do cilindro (em
) e a gente quer saber a que distância
a partir da superfície precisa colocar o outro terminal pra ler
V.
Conteúdo envolvido: campo elétrico de uma linha infinita de carga, potencial eletrostático e integral para diferença de potencial.
Conteúdo envolvido: campo elétrico de uma linha infinita de carga, potencial eletrostático e integral para diferença de potencial.
Passo 2
Primeiro, qual é o campo elétrico fora de uma linha infinita com densidade
?
Pela Lei de Gauss a gente acha
Pela Lei de Gauss a gente acha
onde
Passo 3
Para achar a diferença de potencial entre dois pontos (um em
e outro em
), usamos
Substituindo
$$V®-V(a) ;=; -\int_{a}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0,r’},dr’
= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\Bigl[\ln r’\Bigr]_{a}^{r}
= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln!\frac{r}{a},. $$
Passo 4
Como colocamos um terminal em
e o outro em
, a leitura 175 V é
Agora isolamos
$$\ln!\frac{r}{a} = \frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{r}{a} = \exp!\Bigl(\frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}\Bigr)
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{r}{a} = \exp!\Bigl(\frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}\Bigr)
\quad\Longrightarrow\quad
r = a,\exp!\Bigl(\frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}\Bigr),. $$
Passo 5
Bora numerar:
– nC/m
C/m
– cm
m
– F/m
–
–
–
O expoente fica
$$\frac{2\pi,(8{,}85\times10{-12})\times175}{15\times10{-9}}
\approx0{,}650,.
r = 0{,}0250,\exp(0{,}650)\approx0{,}0479m
=4{,}79cm,.
d = r - a = 4{,}79cm - 2{,}50cm
\approx 2{,}29cm,. $$
Resposta
A segunda ponta do voltímetro deve ficar cerca de 2,29 cm afastada da superfície do cilindro.