A very long insulating cylinder of charge of radius 2.50 cm carries a uniform linear density of 15.0 nC / m. If you put one probe of a voltmeter at the surface, how far from the surface must the other probe be placed so that the voltmeter reads 175 V ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cilindro isolante (super comprido, “infinito” na prática) de raio a = 2,50,cm com densidade linear de carga lambda = 15,0,nC/m. Um dos terminais do voltímetro fica grudado na superfície do cilindro (em r = a) e a gente quer saber a que distância d a partir da superfície precisa colocar o outro terminal pra ler V = 175,V.
Conteúdo envolvido: campo elétrico de uma linha infinita de carga, potencial eletrostático e integral para diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, qual é o campo elétrico fora de uma linha infinita com densidade lambda?
Pela Lei de Gauss a gente acha
E(r) = lambda2pivarepsilon0,r,, r>= a
onde varepsilon0approx8,85times10^-12,F/m. Esse E(r) aponta radialmente pra fora.

Passo 3

Para achar a diferença de potencial entre dois pontos (um em r=a e outro em r> a), usamos
V(r)-V(a);=; -integrala^rE(r'),dr',
Substituindo E(r') e integrando:
$$V®-V(a) ;=; -\int_{a}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0,r’},dr’
= -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\Bigl[\ln r’\Bigr]_{a}^{r}
= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln!\frac{r}{a},. $$

Passo 4

Como colocamos um terminal em a e o outro em r, a leitura 175 V é
175 = V(r)-V(a) = lambda2pivarepsilon0ln!ra,
Agora isolamos r:
$$\ln!\frac{r}{a} = \frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{r}{a} = \exp!\Bigl(\frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}\Bigr)
\quad\Longrightarrow\quad
r = a,\exp!\Bigl(\frac{2\pi\varepsilon_0,175}{\lambda}\Bigr),. $$

Passo 5

Bora numerar:
lambda = 15,0,nC/m =15times10^-9,C/m
a = 2,50,cm =0,0250,m
varepsilon0 = 8,85times10^-12,F/m
O expoente fica
$$\frac{2\pi,(8{,}85\times10{-12})\times175}{15\times10{-9}}
\approx0{,}650,. 2pi,(8,85times10^-12)times17515times10^-9 approx0,650, ãr = 0{,}0250,\exp(0{,}650)\approx0{,}0479m
=4{,}79cm,. r = 0,0250,exp(0,650)approx0,0479 m =4,79 cm, âíd = r - a = 4{,}79cm - 2{,}50cm
\approx 2{,}29cm,. $$

Resposta

A segunda ponta do voltímetro deve ficar cerca de 2,29 cm afastada da superfície do cilindro.

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