d. Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
- 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
- 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
- 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
- 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
- 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente,
. Determine o número
de alunos desta turma.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (coloquei os números exatamente como no enunciado).
- Número total de alunos da turma:
(é o que queremos achar). - Definições de conjuntos:
-
= conjunto dos torcedores do Paysandu; -
= conjunto dos torcedores do Remo; -
= conjunto dos torcedores do Vasco.
-
- Informações fornecidas:
-
. -
. -
. -
. -
. -
(ou seja, ).
-
- Pergunta: determinar
, o número de alunos da turma.
Passo 2
Explicar a relação entre o número total
e os conjuntos
.
Quando uma pesquisa lista quantos alunos torcem por cada clube e por combinações de clubes, o número total de alunos que torcem por pelo menos um desses clubes é o tamanho da união
. Pela formula de contagem por inclusão-exclusão, para três conjuntos vale:
Aqui cada termo tem o seguinte significado:
-
, , : quantos torcem individualmente por cada clube; - subtrai-se os pares
porque quem torce por dois clubes foi contado duas vezes nas somas iniciais; - adiciona-se
porque quem torce pelos três foi subtraído três vezes e precisa ser compensado (regra padrão de inclusão-exclusão).
Para este problema, assumimos — como normalmente se interpreta nesse tipo de enunciado — que a pesquisa cobriu as preferências e que os alunos contabilizados nas informações são os da turma, isto é, o total
coincide com
. (Se houvesse alunos que não torcem por nenhum dos três clubes, o enunciado deveria informar; como não informou, segue-se a interpretação padrão.)
Passo 3
Determinar
.
Da hipótese
segue que nenhum aluno torce ao mesmo tempo por Paysandu e Remo. Portanto nenhum aluno pode torcer pelos três clubes ao mesmo tempo, porque um torcedor dos três estaria em
. Logo
Passo 4
Aplicar a fórmula de inclusão-exclusão com os valores dados.
Substituindo os valores na fórmula
temos
Passo 5
Fazer as contas passo a passo (sem calculadora, só soma e subtração simples).
Primeiro some os tamanhos individuais:
Agora subtraia as interseções de pares:
Como os outros termos
e
são zero, o resultado final da união é
.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida.
O valor
representa o número de alunos que torcem por pelo menos um dos três clubes. Pelo entendimento usual do enunciado, esse é o total da turma
. Faz sentido: cada aluno foi contado exatamente uma vez na contagem final (inicialmente podiam aparecer em mais de uma contagem, por isso a inclusão-exclusão corrige tudo), e as interseções e tripla interseção foram tratadas corretamente.