d. Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
  • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
  • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
  • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
  • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
  • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A \cap B=\varnothing. Determine o número n de alunos desta turma.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (coloquei os números exatamente como no enunciado).
  • Número total de alunos da turma: n (é o que queremos achar).
  • Definições de conjuntos:
    • A = conjunto dos torcedores do Paysandu;
    • B = conjunto dos torcedores do Remo;
    • C = conjunto dos torcedores do Vasco.
  • Informações fornecidas:
    • |A| = 23.
    • |B| = 23.
    • |C| = 15.
    • |A \cap C| = 6.
    • |B \cap C| = 5.
    • A \cap B = \varnothing (ou seja, |A \cap B| = 0).
  • Pergunta: determinar n, o número de alunos da turma.

Passo 2

Explicar a relação entre o número total n e os conjuntos A,B,C.
Quando uma pesquisa lista quantos alunos torcem por cada clube e por combinações de clubes, o número total de alunos que torcem por pelo menos um desses clubes é o tamanho da união A\cup B\cup C. Pela formula de contagem por inclusão-exclusão, para três conjuntos vale:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.
Aqui cada termo tem o seguinte significado:
  • |A|, |B|, |C|: quantos torcem individualmente por cada clube;
  • subtrai-se os pares |A\cap B|,|A\cap C|,|B\cap C| porque quem torce por dois clubes foi contado duas vezes nas somas iniciais;
  • adiciona-se |A\cap B\cap C| porque quem torce pelos três foi subtraído três vezes e precisa ser compensado (regra padrão de inclusão-exclusão).
Para este problema, assumimos — como normalmente se interpreta nesse tipo de enunciado — que a pesquisa cobriu as preferências e que os alunos contabilizados nas informações são os da turma, isto é, o total n coincide com |A\cup B\cup C|. (Se houvesse alunos que não torcem por nenhum dos três clubes, o enunciado deveria informar; como não informou, segue-se a interpretação padrão.)

Passo 3

Determinar |A\cap B\cap C|.
Da hipótese A\cap B=\varnothing segue que nenhum aluno torce ao mesmo tempo por Paysandu e Remo. Portanto nenhum aluno pode torcer pelos três clubes ao mesmo tempo, porque um torcedor dos três estaria em A\cap B. Logo
|A\cap B\cap C| = 0.

Passo 4

Aplicar a fórmula de inclusão-exclusão com os valores dados.
Substituindo os valores na fórmula
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|
temos
|A\cup B\cup C| = 23 + 23 + 15 - 0 - 6 - 5 + 0.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (sem calculadora, só soma e subtração simples).
Primeiro some os tamanhos individuais:
23 + 23 + 15 = 46 + 15 = 61.
Agora subtraia as interseções de pares:
61 - 6 = 55, \qquad 55 - 5 = 50.
Como os outros termos |A\cap B| e |A\cap B\cap C| são zero, o resultado final da união é |A\cup B\cup C| = 50.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
O valor |A\cup B\cup C| = 50 representa o número de alunos que torcem por pelo menos um dos três clubes. Pelo entendimento usual do enunciado, esse é o total da turma n. Faz sentido: cada aluno foi contado exatamente uma vez na contagem final (inicialmente podiam aparecer em mais de uma contagem, por isso a inclusão-exclusão corrige tudo), e as interseções e tripla interseção foram tratadas corretamente.

Resposta

\,50\,

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