Uma placa aquecida de forma irregular tem temperatura T(x, y) em { }^{\circ} \mathrm{C} no ponto (x, y). Se T(2,1)=135, e \frac{\partial T}{\partial x}(2,1)=16, e \frac{\partial T}{\partial y}(2,1)=-15, estime a temperatura no ponto (2.04,0.97).

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime a temperatura no ponto (2{,}04,0{,}97) sabendo informações no ponto próximo (2,1). Os dados fornecidos são:
  • T(2,1)=135 (em ^\circ\mathrm{C});
  • \dfrac{\partial T}{\partial x}(2,1)=16;
  • \dfrac{\partial T}{\partial y}(2,1)=-15.
As perguntas implícitas são: qual é o valor aproximado de T(2{,}04,0{,}97) e qual método usar para estimar esse valor a partir dos dados no ponto (2,1).

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagarzinho): as derivadas parciais \dfrac{\partial T}{\partial x} e \dfrac{\partial T}{\partial y} medem as taxas de variação da temperatura quando movemos apenas em x (mantendo y fixo) ou apenas em y (mantendo x fixo), respectivamente. Por exemplo, \dfrac{\partial T}{\partial x}(2,1)=16 significa que se aumentarmos x em 1 unidade mantendo y em 1, a temperatura aumentaria cerca de 16 ^\circ\mathrm{C} (localmente).
Para estimativas próximas a um ponto usamos a aproximação linear (também chamada de diferencial ou plano tangente). A fórmula é:
T(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y)\approx T(x_0,y_0)+T_x(x_0,y_0)\,\Delta x + T_y(x_0,y_0)\,\Delta y.
Aqui:
  • T_x(x_0,y_0) é \dfrac{\partial T}{\partial x} no ponto (x_0,y_0);
  • T_y(x_0,y_0) é \dfrac{\partial T}{\partial y} no ponto (x_0,y_0);
  • \Delta x e \Delta y são os pequenos deslocamentos em x e y.
Essa fórmula vem da expansão de primeira ordem (o termo linear do polinômio de Taylor em duas variáveis). Ela é boa quando \Delta x e \Delta y são pequenos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso ponto de referência (x_0,y_0)=(2,1). Primeiro escrever a relação específica:
T(2+\Delta x,\,1+\Delta y)\approx T(2,1)+T_x(2,1)\,\Delta x + T_y(2,1)\,\Delta y.
Substituímos os valores conhecidos T(2,1)=135, T_x(2,1)=16 e T_y(2,1)=-15 quando for calcular numericamente.

Passo 4

Calcular os deslocamentos \Delta x e \Delta y do ponto inicial até o ponto pedido:
\Delta x = 2{,}04-2 = 0{,}04, \qquad \Delta y = 0{,}97-1 = -0{,}03.
Vou sempre usar vírgula para decimais, como você pediu.

Passo 5

Calcular a variação aproximada da temperatura \Delta T usando os parciais:
\Delta T \approx T_x(2,1)\,\Delta x + T_y(2,1)\,\Delta y = 16\cdot 0{,}04 + (-15)\cdot(-0{,}03).
Agora calcular cada termo:
16\cdot 0{,}04 = 0{,}64,\qquad (-15)\cdot(-0{,}03)=0{,}45.
Somando,
\Delta T \approx 0{,}64 + 0{,}45 = 1{,}09.
Interpretando: a temperatura aumenta cerca de 1{,}09 ^\circ\mathrm{C} ao ir de (2,1) para (2{,}04,0{,}97), segundo a aproximação linear.

Passo 6

Verificação rápida da validade: a distância do deslocamento é
\sqrt{(0{,}04)^2 + (-0{,}03)^2}=\sqrt{0{,}0016+0{,}0009}=\sqrt{0{,}0025}=0{,}05,
que é pequeno — portanto a aproximação linear é razoável aqui (quanto menor a distância, melhor a aproximação).
Agora combinamos a variação com o valor de referência T(2,1)=135 para obter a estimativa final (o resultado numérico final está na seção de resposta abaixo).

Resposta

T(2{,}04,0{,}97)\approx 136{,}09^\circ\mathrm{C}

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