Uma placa aquecida de forma irregular tem temperatura
em
no ponto
. Se
, e
, e
, estime a temperatura no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime a temperatura no ponto
sabendo informações no ponto próximo
. Os dados fornecidos são:
-
(em ); -
; -
.
As perguntas implícitas são: qual é o valor aproximado de
e qual método usar para estimar esse valor a partir dos dados no ponto
.
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagarzinho): as derivadas parciais
e
medem as taxas de variação da temperatura quando movemos apenas em
(mantendo
fixo) ou apenas em
(mantendo
fixo), respectivamente. Por exemplo,
significa que se aumentarmos
em
unidade mantendo
em
, a temperatura aumentaria cerca de
(localmente).
Para estimativas próximas a um ponto usamos a aproximação linear (também chamada de diferencial ou plano tangente). A fórmula é:
Aqui:
-
é no ponto ; -
é no ponto ; -
e são os pequenos deslocamentos em e .
Essa fórmula vem da expansão de primeira ordem (o termo linear do polinômio de Taylor em duas variáveis). Ela é boa quando
e
são pequenos.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso ponto de referência
. Primeiro escrever a relação específica:
Substituímos os valores conhecidos
,
e
quando for calcular numericamente.
Passo 4
Calcular os deslocamentos
e
do ponto inicial até o ponto pedido:
Vou sempre usar vírgula para decimais, como você pediu.
Passo 5
Calcular a variação aproximada da temperatura
usando os parciais:
Agora calcular cada termo:
Somando,
Interpretando: a temperatura aumenta cerca de
ao ir de
para
, segundo a aproximação linear.
Passo 6
Verificação rápida da validade: a distância do deslocamento é
que é pequeno — portanto a aproximação linear é razoável aqui (quanto menor a distância, melhor a aproximação).
Agora combinamos a variação com o valor de referência
para obter a estimativa final (o resultado numérico final está na seção de resposta abaixo).