Um vetor boldsymbol{r} no plano x y tem 25 m de comprimento e faz um ângulo \theta=30^{\circ} \mathrm{com} o semieixo x positivo. Determine
a componente x do vetor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um vetor \boldsymbol{r} no plano xy tem módulo \;25\\ \text{m}.
  • O vetor faz um ângulo \theta = 30^\circ com o semieixo x positivo.
  • O que se pede: determinar a componente x do vetor (ou seja, a projeção do vetor sobre o eixo x).

Passo 2

Entendendo o que é "componente x" de um vetor: imagine o vetor como a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelas suas projeções nos eixos x e y. A componente x é o cateto adjacente ao ângulo \theta (o ângulo com o eixo x) e o módulo do vetor é a hipotenusa. Pela trigonometria do triângulo retângulo, a razão cosseno relaciona cateto adjacente e hipotenusa:
\cos\theta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui, a componente x é o cateto adjacente e o módulo \lVert\boldsymbol{r}\rVert=25\\ \text{m} é a hipotenusa.

Passo 3

Usando a relação do cosseno para escrever a componente x:
r_x = \lVert\boldsymbol{r}\rVert \cos\theta.
Neste problema, \lVert\boldsymbol{r}\rVert = 25\\ \text{m} e \theta = 30^\circ, então
r_x = 25\cos 30^\circ.

Passo 4

Calcular \cos 30^\circ. Podemos lembrar (ou derivar usando um triângulo equilátero dividido ao meio) que
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em r_x:
r_x = 25\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}.
Também podemos escrever \frac{25\sqrt{3}}{2} = 12{,}5\sqrt{3}.

Passo 5

Calcular uma aproximação numérica para uso prático (sem usar calculadora, sabe-se que \sqrt{3}\approx 1{,}732):
r_x \approx 12{,}5\times 1{,}732 \approx 21{,}65\\ \text{m}.
Observação: como \theta=30^\circ está no primeiro quadrante, a componente x é positiva, o que bate com o resultado positivo obtido.

Resposta

\dfrac{25\sqrt{3}}{2}\\ \text{m} \approx 21{,}65\\ \text{m}

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