O vetor campo elétrico uma certa onda eletromagnética plana é dado por
com x em metros e
em segundos. Determine
a) a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico.
b) a função vetorial temporal para o campo magnético, incluindo o valor da constante
.
c) a função vetorial temporal para o vetor de Poynting.
a) a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico.
b) a função vetorial temporal para o campo magnético, incluindo o valor da constante
c) a função vetorial temporal para o vetor de Poynting.
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico
com
em metros e
em segundos, onde a notação
é o versor (vetor unitário) na direção
. Preciso determinar:
a) a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico;
b) a expressão vetorial no tempo e no espaço para o campo magnético , incluindo o valor numérico da constante
(o número de onda);
c) a expressão vetorial no tempo e no espaço para o vetor de Poynting .
a) a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico;
b) a expressão vetorial no tempo e no espaço para o campo magnético
c) a expressão vetorial no tempo e no espaço para o vetor de Poynting
Informações relevantes recolhidas do enunciado: amplitude do campo elétrico
(unidades V/m), o argumento da seno contém
(daqui extrai-se a frequência angular
). Não há outras informações numéricas (vou usar a velocidade da luz no vácuo
e a permeabilidade do vácuo
quando necessário).
Passo 2
Identificar a frequência angular
e calcular o número de onda
.
Do argumento da função seno vemos . Para uma onda eletromagnética no vácuo a relação de dispersão é
Do argumento da função seno vemos
onde
é a velocidade da luz. Assim
Expliquei: dividi
por
; as potências de dez cancelam como
, e o factor
desaparece, sobrando
.
Passo 3
Determinar a direção de propagação da onda (importante para achar a direção de
).
Superfícies de fase constante satisfazem constante, então
Superfícies de fase constante satisfazem
A velocidade de fase é
, que é negativa: a onda se propaga no sentido negativo do eixo
. Portanto o vetor unitário de propagação é
Expliquei: a presença de
no argumento dá um sinal de velocidade negativa em
; é o mesmo raciocínio que fazemos quando interpretamos
como propagação para
.
Passo 4
Relação entre
,
e direção de propagação para uma onda plana no vácuo.
Para uma onda plana no vácuo, ,
e
formam um triângulo retângulo (produto vetorial). A relação de amplitude e fase é
Para uma onda plana no vácuo,
ou seja,
tem a mesma dependência temporal (mesma fase) que
e sua amplitude é
. Aqui
é o sentido de propagação e
tem unidades m/s, garantindo que
tenha unidades de tesla. Expliquei: esta fórmula vem das equações de Maxwell para ondas planas em vácuo; é suficiente para obter direção, amplitude e fase de
.
Passo 5
Calcular explicitamente o produto vetorial
.
Temos e
com
. Então
Temos
Usando
(porque
e permutando indices troca sinais), obtemos
Portanto
Expliquei passo a passo o cálculo do produto vetorial para que não reste dúvida sobre a direção.
Passo 6
Escrever
usando
e substituir
numericamente para obter amplitude.
Temos
Temos
Colocando
e
e simplificando
, obtemos a forma numérica
Expliquei: a amplitude do campo magnético é a amplitude do elétrico dividida por
; esse resultado está em tesla.
Passo 7
Determinar a diferença de fase entre
e
.
Observe que e
dependem do mesmo argumento
e entram ambas multiplicadas por
. Logo as oscilações de
e
atingem máximos e zeros simultaneamente: estão em fase. Portanto a diferença de fase é
Observe que
Expliquei o que significa “diferença de fase”: é a diferença entre os argumentos das funções seno que descrevem as oscilações no mesmo ponto do espaço; aqui é zero.
Passo 8
Calcular o vetor de Poynting
.
A definição instantânea do vetor de Poynting no SI é
A definição instantânea do vetor de Poynting no SI é
com
. Primeiro calculamos
. Com
e
(usando a forma simbólica antes de substituir
),
Como
, segue
Logo
Substituindo
com
e
obtemos a expressão final em forma simbólica. Se quisermos o valor numérico do prefator usamos
(pois
), então
portanto a forma numérica é
Expliquei: o sinal negativo indica fluxo de energia na direção
(isto é, no mesmo sentido da propagação, que é para
); a dependência
é típica porque
envolve produto
.
Resposta
a)
rad (os campos estão em fase)\n
b) (T), com
\n
c) (W/m
)
b)
c)