O vetor campo elétrico uma certa onda eletromagnética plana é dado por
E(x, t)=3 \operatorname{sen}\left(k x+3 \pi \cdot 10^{4} t\right) \mathbf{k}
com x em metros e t em segundos. Determine
a) a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico.
b) a função vetorial temporal para o campo magnético, incluindo o valor da constante k.
c) a função vetorial temporal para o vetor de Poynting.

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico
E(x,t)=3\sin\!\big(kx+3\pi\cdot 10^{4}t\big)\,\mathbf{\hat{k}}
com x em metros e t em segundos, onde a notação \mathbf{\hat{k}} é o versor (vetor unitário) na direção z. Preciso determinar:
a) a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico;
b) a expressão vetorial no tempo e no espaço para o campo magnético \mathbf{B}(x,t), incluindo o valor numérico da constante k (o número de onda);
c) a expressão vetorial no tempo e no espaço para o vetor de Poynting \mathbf{S}(x,t).
Informações relevantes recolhidas do enunciado: amplitude do campo elétrico E_0=3 (unidades V/m), o argumento da seno contém kx+3\pi\cdot 10^{4}t (daqui extrai-se a frequência angular \omega=3\pi\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad/s}). Não há outras informações numéricas (vou usar a velocidade da luz no vácuo c\approx 3\cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} e a permeabilidade do vácuo \mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2} quando necessário).

Passo 2

Identificar a frequência angular \omega e calcular o número de onda k.
Do argumento da função seno vemos \omega=3\pi\cdot 10^{4}\,\mathrm{rad/s}. Para uma onda eletromagnética no vácuo a relação de dispersão é
v=\frac{\omega}{k}=c,
onde c é a velocidade da luz. Assim
k=\frac{\omega}{c}=\frac{3\pi\cdot 10^{4}}{3\cdot 10^{8}}=\pi\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^{-1}}.
Expliquei: dividi \omega por c; as potências de dez cancelam como 10^{4}/10^{8}=10^{-4}, e o factor 3/3 desaparece, sobrando \pi\cdot 10^{-4}.

Passo 3

Determinar a direção de propagação da onda (importante para achar a direção de \mathbf{B}).
Superfícies de fase constante satisfazem kx+\omega t= constante, então
x=\text{const} - \frac{\omega}{k}t.
A velocidade de fase é dx/dt=-\omega/k, que é negativa: a onda se propaga no sentido negativo do eixo x. Portanto o vetor unitário de propagação é
\hat{n}=-\mathbf{\hat{i}}.
Expliquei: a presença de +\,\omega t no argumento dá um sinal de velocidade negativa em x; é o mesmo raciocínio que fazemos quando interpretamos kx-\omega t como propagação para +\hat{i}.

Passo 4

Relação entre \mathbf{E}, \mathbf{B} e direção de propagação para uma onda plana no vácuo.
Para uma onda plana no vácuo, \mathbf{E}, \mathbf{B} e \hat{n} formam um triângulo retângulo (produto vetorial). A relação de amplitude e fase é
\mathbf{B}(x,t)=\frac{1}{c}\,\hat{n}\times\mathbf{E}(x,t),
ou seja, \mathbf{B} tem a mesma dependência temporal (mesma fase) que \mathbf{E} e sua amplitude é |\mathbf{B}_0|=|\mathbf{E}_0|/c. Aqui \hat{n} é o sentido de propagação e c tem unidades m/s, garantindo que \mathbf{B} tenha unidades de tesla. Expliquei: esta fórmula vem das equações de Maxwell para ondas planas em vácuo; é suficiente para obter direção, amplitude e fase de \mathbf{B}.

Passo 5

Calcular explicitamente o produto vetorial \hat{n}\times\mathbf{E}.
Temos \hat{n}=-\mathbf{\hat{i}} e \mathbf{E}(x,t)=3\sin\!\big(kx+\omega t\big)\,\mathbf{\hat{k}} com \omega=3\pi\cdot 10^{4}. Então
\hat{n}\times\mathbf{E} = (-\mathbf{\hat{i}})\times\big(3\sin(\cdots)\,\mathbf{\hat{k}}\big) =3\sin(\cdots)\,(-\mathbf{\hat{i}}\times\mathbf{\hat{k}}).
Usando \mathbf{\hat{i}}\times\mathbf{\hat{k}}=-\mathbf{\hat{j}} (porque \mathbf{\hat{i}}\times\mathbf{\hat{j}}=\mathbf{\hat{k}} e permutando indices troca sinais), obtemos
-\mathbf{\hat{i}}\times\mathbf{\hat{k}}= -\big(-\mathbf{\hat{j}}\big)=\mathbf{\hat{j}}.
Portanto
\hat{n}\times\mathbf{E}=3\sin\!\big(kx+\omega t\big)\,\mathbf{\hat{j}}.
Expliquei passo a passo o cálculo do produto vetorial para que não reste dúvida sobre a direção.

Passo 6

Escrever \mathbf{B}(x,t) usando \mathbf{B}=(1/c)(\hat{n}\times\mathbf{E}) e substituir c numericamente para obter amplitude.
Temos
\mathbf{B}(x,t)=\frac{1}{c}\,3\sin\!\big(kx+\omega t\big)\,\mathbf{\hat{j}} =\frac{3}{c}\sin\!\big(kx+\omega t\big)\,\mathbf{\hat{j}}.
Colocando c=3\cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} e k=\pi\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^{-1}} e simplificando 3/c=3/(3\cdot 10^{8})=10^{-8}, obtemos a forma numérica
\mathbf{B}(x,t)=10^{-8}\sin\!\big(\pi\cdot 10^{-4}x+3\pi\cdot 10^{4}t\big)\,\mathbf{\hat{j}}\quad(\mathrm{T}).
Expliquei: a amplitude do campo magnético é a amplitude do elétrico dividida por c; esse resultado está em tesla.

Passo 7

Determinar a diferença de fase entre \mathbf{E} e \mathbf{B}.
Observe que \mathbf{E}(x,t) e \mathbf{B}(x,t) dependem do mesmo argumento \theta=kx+\omega t e entram ambas multiplicadas por \sin(\theta). Logo as oscilações de \mathbf{E} e \mathbf{B} atingem máximos e zeros simultaneamente: estão em fase. Portanto a diferença de fase é
0\\ \text{rad}.
Expliquei o que significa “diferença de fase”: é a diferença entre os argumentos das funções seno que descrevem as oscilações no mesmo ponto do espaço; aqui é zero.

Passo 8

Calcular o vetor de Poynting \mathbf{S}(x,t).
A definição instantânea do vetor de Poynting no SI é
\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},
com \mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}. Primeiro calculamos \mathbf{E}\times\mathbf{B}. Com \mathbf{E}=3\sin(\theta)\,\mathbf{\hat{k}} e \mathbf{B}=(3/c)\sin(\theta)\,\mathbf{\hat{j}} (usando a forma simbólica antes de substituir k),
\mathbf{E}\times\mathbf{B}=3\sin(\theta)\,\mathbf{\hat{k}}\times\frac{3}{c}\sin(\theta)\,\mathbf{\hat{j}} =\frac{9}{c}\sin^2(\theta)\,(\mathbf{\hat{k}}\times\mathbf{\hat{j}}).
Como \mathbf{\hat{k}}\times\mathbf{\hat{j}}=-\mathbf{\hat{i}}, segue
\mathbf{E}\times\mathbf{B}=-\frac{9}{c}\sin^2(\theta)\,\mathbf{\hat{i}}.
Logo
\mathbf{S}(x,t)=\frac{1}{\mu_0}\Big(-\frac{9}{c}\sin^2(\theta)\Big)\mathbf{\hat{i}} =-\frac{9}{\mu_0 c}\sin^2(\theta)\,\mathbf{\hat{i}}.
Substituindo \theta=kx+\omega t com k=\pi\cdot 10^{-4} e \omega=3\pi\cdot 10^{4} obtemos a expressão final em forma simbólica. Se quisermos o valor numérico do prefator usamos \mu_0 c=120\pi (pois \mu_0 c=4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 3\cdot 10^{8}=120\pi), então
\frac{9}{\mu_0 c}=\frac{9}{120\pi}\approx 0,0239,
portanto a forma numérica é
\mathbf{S}(x,t)\approx -0,0239\,\sin^2\!\big(\pi\cdot 10^{-4}x+3\pi\cdot 10^{4}t\big)\,\mathbf{\hat{i}}\quad(\mathrm{W/m^2}).
Expliquei: o sinal negativo indica fluxo de energia na direção -\mathbf{\hat{i}} (isto é, no mesmo sentido da propagação, que é para -x); a dependência \sin^2 é típica porque \mathbf{S} envolve produto \mathbf{E}\times\mathbf{B}.

Resposta

a) \;0 rad (os campos estão em fase)\n
b) \;\mathbf{B}(x,t)=10^{-8}\sin\!\big(\pi\cdot 10^{-4}x+3\pi\cdot 10^{4}t\big)\,\mathbf{\hat{j}} (T), com k=\pi\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^{-1}}\n
c) \;\mathbf{S}(x,t)=-\dfrac{9}{\mu_0 c}\sin^2\!\big(\pi\cdot 10^{-4}x+3\pi\cdot 10^{4}t\big)\,\mathbf{\hat{i}}\approx -0,0239\,\sin^2\!\big(\pi\cdot 10^{-4}x+3\pi\cdot 10^{4}t\big)\,\mathbf{\hat{i}} (W/m ^2)

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