Suponha uma fonte pontual emitindo ondas eletromagnéticas isotropicamente em um hemisfério. Suponha também uma antena receptora, de abertura circular de raio 20 cm , a 3 km de distância da fonte. Sabendo que a potência absorvida pela antena é 3 mW , calcule a potência da fonte.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência da fonte, dado que uma antena circular de raio 0,20\,\text{m} (ou 20\\ \text{cm}) situada a 3\,\text{km} da fonte absorve 3\,\text{mW} de potência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{raio da antena: } a = 0{,}20\,\text{m}
\text{distância da fonte à antena: } R = 3\,\text{km} = 3000\,\text{m}âà
\text{potência absorvida pela antena: } P_{\text{abs}} = 3\,\text{mW} = 3\times10^{-3}\,\text{W}ê
\text{emissão isotrópica da fonte, porém apenas em um hemisfério}ãóéé
A pergunta final é: qual é a potência total P_{\text{fonte}} emitida pela fonte?

Passo 2

Vamos entender o conceito físico que vamos usar: intensidade (fluxo de potência por unidade de área). A intensidade média I a uma distância R de uma fonte que emite potência P_{\text{fonte}} isotropicamente sobre um hemisfério é a potência dividida pela área do hemisfério de raio R. A área de um hemisfério de raio R é
2\pi R^{2}.
Logo a intensidade (em W/m ^2) a R metros é
I=\frac{P_{\text{fonte}}}{2\pi R^{2}}.
Explicando as variáveis: I é a potência por metro quadrado que passa pela superfície esférica (ou hemisférica) a raio R; P_{\text{fonte}} é a potência total emitida no hemisfério; 2\pi R^{2} é a área sobre a qual essa potência se espalha.

Passo 3

A antena tem uma área de abertura que capta parte dessa intensidade. A área da abertura circular é
A=\pi a^{2},
onde a é o raio da antena. Substituindo a=0{,}20\,\text{m},
A=\pi(0{,}20)^{2}=\pi\cdot0{,}04=0{,}04\pi\\ \text{m}^{2}.
Expliquei: aqui A é a área efetiva que intercepta as ondas; usamos a fórmula clássica da área do círculo.

Passo 4

A potência absorvida pela antena é o produto da intensidade I pela área A:
P_{\text{abs}}=I\cdot A.
Substituindo I pela expressão da potência da fonte dividida pela área do hemisfério obtemos
P_{\text{abs}}=\frac{P_{\text{fonte}}}{2\pi R^{2}}\cdot A.
Queremos P_{\text{fonte}}, portanto isolamos:
P_{\text{fonte}}=P_{\text{abs}}\cdot\frac{2\pi R^{2}}{A}.
Aqui cada termo significa: P_{\text{abs}} é o que medimos na antena; o fator \dfrac{2\pi R^{2}}{A} é quanto maior é a potência total em relação ao que a pequena antena intercepta.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Primeiro calculemos R^{2}:
R^{2}=(3000\,\text{m})^{2}=9{,}0\times10^{6}\,\text{m}^{2}.
Já temos A=0{,}04\pi\,\text{m}^{2}. Substituindo em P_{\text{fonte}}:
P_{\text{fonte}}=3\times10^{-3}\,\text{W}\cdot\frac{2\pi\cdot 9{,}0\times10^{6}}{0{,}04\pi}.

Passo 6

Simplificamos a expressão: o \pi no numerador e no denominador cancela, ficando
P_{\text{fonte}}=3\times10^{-3}\,\text{W}\cdot\frac{2\cdot 9{,}0\times10^{6}}{0{,}04}.
Calculemos o numerador interno:
2\cdot 9{,}0\times10^{6}=1{,}8\times10^{7}.
Agora dividimos por 0{,}04:
\frac{1{,}8\times10^{7}}{0{,}04}=1{,}8\times10^{7}\times\frac{1}{4\times10^{-2}}=1{,}8\times10^{7}\times25=4{,}5\times10^{8}.
Multiplicando por 3\times10^{-3}\,\text{W}:
P_{\text{fonte}}=3\times10^{-3}\times4{,}5\times10^{8}\,\text{W}=13{,}5\times10^{5}\,\text{W}=1{,}35\times10^{6}\,\text{W}.
Em unidades mais familiares isso é
P_{\text{fonte}}=1{,}35\,\text{MW}.
Comentário final de interpretação: o resultado é grande porque a antena é muito pequena comparada à área sobre a qual a potência é distribuída a 3\,\text{km}. Se a emissão fosse isotrópica em toda a esfera (não só no hemisfério) a potência exigida dobraria, porque a área disponível seria 4\pi R^{2} em vez de 2\pi R^{2}.

Resposta

P_{\text{fonte}}=1{,}35\times10^{6}\,\text{W}=1{,}35\,\text{MW}

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