O vetor campo magnético de uma onda luminosa é dada por
\mathbf{B}(\mathrm{y}, \mathrm{t})=4.10^{-6} \operatorname{sen}\left(1,57.10^{7} \mathrm{y}+\omega \mathrm{t}\right)(\mathbf{i}+2 \mathbf{k})
Determine: a) a freqüência; b) a intensidade; e c) o vetor campo elétrico da onda.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético de uma onda eletromagnética como
\mathbf{B}(y,t)=4\cdot10^{-6}\,\sin\!\bigl(1{,}57\cdot10^{7}y+\omega t\bigr)\,(\mathbf{i}+2\mathbf{k}).
Perguntas pedidas:
a) a frequência (valor de f em Hz);
b) a intensidade (valor médio de fluxo de energia I, em \mathrm{W/m^{2}});
c) o vetor campo elétrico \mathbf{E}(y,t) correspondente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • o número de onda é k=1{,}57\cdot10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}} (porque aparece 1{,}57\cdot10^{7}y no argumento do seno);
  • a amplitude vetorial (pré-fator) do campo magnético é 4\cdot10^{-6} multiplicando o vetor (\mathbf{i}+2\mathbf{k});
  • a onda está no vácuo (implícito para onda luminosa), então usaremos c e \mu_{0} padrão.

Passo 2

Encontrar a frequência: primeiro achamos a pulsação angular \omega usando a relação de dispersão no vácuo \omega = c\,k, onde c é a velocidade da luz. Tomando c=3{,}00\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s} e k=1{,}57\cdot10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},
\omega = c\,k = 3{,}00\cdot10^{8}\cdot 1{,}57\cdot10^{7}=4{,}71\cdot10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.
A frequência f (em Hz) é \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}. Calculando,
f=\frac{4{,}71\cdot10^{15}}{2\pi}\approx 7{,}50\cdot10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
(Usei 2\pi\approx6{,}28318 para fazer a divisão.)

Passo 3

Calcular a intensidade: primeiro precisamos da amplitude (módulo) do campo magnético máximo. O vetor direção dado é (\mathbf{i}+2\mathbf{k}), cuja norma é
\|\mathbf{i}+2\mathbf{k}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\approx2{,}236.
Assim a amplitude máxima (magnitude) do campo magnético é
B_{0}=(4\cdot10^{-6})\sqrt{5}=4\cdot10^{-6}\sqrt{5}\\ \mathrm{T}\approx 8{,}944\cdot10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Fórmula da intensidade média e cálculo numérico: para uma onda eletromagnética plana no vácuo, a intensidade média (fluxo de energia médio) é
I=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}c E_{0}^{2}=\frac{c}{2\mu_{0}}\,B_{0}^{2},
onde E_{0} é a amplitude do campo elétrico, B_{0} a amplitude do campo magnético, \varepsilon_{0} e \mu_{0} as constantes do vácuo, e usamos a relação E_{0}=cB_{0}. Eu uso a forma em B_{0} porque já a calculei. Tomando \mu_{0}=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}},
I=\frac{c}{2\mu_{0}}\,B_{0}^{2}.
Agora substituímos valores: c=3{,}00\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s} e B_{0}^{2}=(4\cdot10^{-6})^{2}\cdot5=16\cdot10^{-12}\cdot5=80\cdot10^{-12}=8{,}0\cdot10^{-11}\\ \mathrm{T^{2}}. Então
\frac{c}{2\mu_{0}}=\frac{3{,}00\cdot10^{8}}{2\cdot(4\pi\cdot10^{-7})}\approx 1{,}19366\cdot10^{14}
e
I\approx 1{,}19366\cdot10^{14}\cdot 8{,}0\cdot10^{-11}=9{,}55\cdot10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Portanto a intensidade média é aproximadamente 9{,}55\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Determinar o campo elétrico \mathbf{E}(y,t): teoria/conceito usado
  • Em uma onda plana no vácuo, \mathbf{E}, \mathbf{B} e a direção de propagação formam um triângulo retangular orientado (produto vetorial). Para uma onda com vetor de propagação na direção +\mathbf{j} (e fase dependente de ky\pm\omega t), vale a relação vetorial entre amplitudes
\mathbf{B}_{\text{direção}}=\hat{y}\times\mathbf{\hat{e}},çã
onde \mathbf{\hat{e}} é o versor direção de \mathbf{E}. Mais prático: se \hat{k}=\mathbf{j} é a direção de propagação, a relação entre campos instantâneos (para o mesmo argumento de fase) pode ser escrita como
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\mathbf{E}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}=c\,\mathbf{B}\times\hat{k}.
(A ordem do produto vetorial garante a orientação correta dos vetores.)
Aplicação ao caso: a direção do campo magnético (unitária) é
\mathbf{\hat{b}}=\frac{\mathbf{i}+2\mathbf{k}}{\sqrt{5}}.
Tomando \hat{k}=\mathbf{j}, calculamos a direção de \mathbf{E} por
\mathbf{\hat{e}}=\mathbf{\hat{b}}\times\hat{k}=\frac{\mathbf{i}+2\mathbf{k}}{\sqrt{5}}\times\mathbf{j}.
Fazendo o produto vetorial componente a componente (lembre: \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}, \mathbf{k}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i}):
(\mathbf{i}+2\mathbf{k})\times\mathbf{j}=\mathbf{i}\times\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}+2(-\mathbf{i})=\mathbf{k}-2\mathbf{i}=-2\mathbf{i}+\mathbf{k}.
Normalizando por \sqrt{5}, a direção de \mathbf{E} é
\mathbf{\hat{e}}=\frac{-2\mathbf{i}+\mathbf{k}}{\sqrt{5}}.
A amplitude do campo elétrico é E_{0}=c\,B_{0}. Usando B_{0}=4\cdot10^{-6}\sqrt{5}\\ \mathrm{T},
E_{0}=c\,B_{0}=3{,}00\cdot10^{8}\cdot 8{,}944\cdot10^{-6}\\ \mathrm{V/m}\approx 2{,}68\cdot10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Portanto o campo elétrico (com o mesmo argumento de fase que o \mathbf{B} dado) é
\mathbf{E}(y,t)=E_{0}\,\sin\!\bigl(1{,}57\cdot10^{7}y+\omega t\bigr)\,\frac{-2\mathbf{i}+\mathbf{k}}{\sqrt{5}},
com E_{0}\approx 2{,}68\cdot10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Observação rápida sobre sinal da fase: o enunciado usa 1{,}57\cdot10^{7}y+\omega t. Eu mantive esse mesmo argumento na expressão de \mathbf{E} para que \mathbf{E} e \mathbf{B} oscilassem com a mesma fase temporal e espacial; a orientação (sinal) do vetor \mathbf{E} foi obtida do produto vetorial acima para manter a correta relação geométrica entre \mathbf{E}, \mathbf{B} e a direção de propagação.

Resposta

a) f=7{,}50\cdot10^{14}\\ \mathrm{Hz}
b) I\approx 9{,}55\cdot10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}
c) \displaystyle \mathbf{E}(y,t)=2{,}68\cdot10^{3}\,\sin\!\bigl(1{,}57\cdot10^{7}y+\omega t\bigr)\,\frac{-2\mathbf{i}+\mathbf{k}}{\sqrt{5}}

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