A componente elétrica de uma onda eletromagnética é dada pela expressão
Determine: a) a intensidade da onda;
b) a função temporal para o vetor campo magnético da onda; e
c) a função temporal para o vetor de Poynting.
b) a função temporal para o vetor campo magnético da onda; e
c) a função temporal para o vetor de Poynting.
Passo 1
O enunciado dá a componente elétrica da onda eletromagnética
Perguntas:
a) Determinar a intensidade da onda (valor médio do vetor de Poynting);
b) Encontrar a função temporal para o vetor campo magnético da onda;
c) Encontrar a função temporal para o vetor de Poynting (instantâneo).
a) Determinar a intensidade da onda (valor médio do vetor de Poynting);
b) Encontrar a função temporal para o vetor campo magnético da onda;
c) Encontrar a função temporal para o vetor de Poynting (instantâneo).
Informações úteis que já aparecem no enunciado:
O fator multiplicativo
é a amplitude vetorial de
. A onda propaga-se ao longo do eixo
(termo
) e o campo elétrico tem componentes apenas em
e
(logo é transversal à direção de propagação).
Passo 2
Calcular a amplitude (módulo) do campo elétrico (isso vai aparecer nas fórmulas da intensidade e do Poynting). A amplitude vetorial é
O módulo é dado por raiz da soma dos quadrados das componentes:
Portanto
Explicação curta: calculamos o comprimento do vetor amplitude usando o teorema de Pitágoras em 2D (como se fosse a hipotenusa).
Passo 3
Relação entre
e
para uma onda plana no vácuo (derivada de Maxwell): para uma onda harmônica propagando na direção
,
Como
e
, temos
Comentário didático: usamos
; para campos dependendo de
isso dá
, daí
. Substitir
dá a forma com
.
Passo 4
Aplicar a fórmula anterior ao
dado. Primeiro calcule a operação vetorial
. Usando as regras do produto vetorial:
Logo
Substituindo em
e lembrando do fator
em
, obtemos
onde
. Esta é a função temporal (e espacial) do vetor campo magnético. Observação: o sinal e a direção seguem da regra da mão direita;
está em fase com
(mesma dependência
).
Passo 5
Escrever o vetor de Poynting instantâneo. Definição do vetor de Poynting em SI:
Substituímos
. Então
Usamos agora a identidade vetorial
. Como
é transversal a
(não tem componente na direção
), temos
. Assim
Como
, tem-se
. Portanto o Poynting instantâneo fica
Substituindo
obtemos
Comentário: o vetor de Poynting aponta para
, como esperado para uma onda propagando nessa direção. O máximo instantâneo (quando
) é
.
Passo 6
Calcular a intensidade (valor médio temporal do Poynting). Para uma função com fator
, a média temporal em um período é
. Portanto a intensidade (média) é
Em módulo (valor escalar da intensidade):
Podemos reescrever usando
(impedância do vácuo,
) ou usando
conforme prefira. Substituindo
e
,
Resumo numérico prático: intensidade média
.
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)