A componente elétrica de uma onda eletromagnética é dada pela expressão
E(z, t)=10 \cos \left(k z-2 \pi .10^{6} t\right)(3 i+j)
Determine: a) a intensidade da onda;
b) a função temporal para o vetor campo magnético da onda; e
c) a função temporal para o vetor de Poynting.

Passo 1

O enunciado dá a componente elétrica da onda eletromagnética
E(z,t)=10\cos\!\bigl(kz-2\pi\cdot10^{6}t\bigr)\bigl(3\mathbf{i}+\mathbf{j}\bigr).
Perguntas:
a) Determinar a intensidade da onda (valor médio do vetor de Poynting);
b) Encontrar a função temporal para o vetor campo magnético da onda;
c) Encontrar a função temporal para o vetor de Poynting (instantâneo).
Informações úteis que já aparecem no enunciado:
\omega=2\pi\cdot10^{6}\\ \text{(rad/s)}.
O fator multiplicativo 10(3\mathbf{i}+\mathbf{j}) é a amplitude vetorial de \mathbf{E}. A onda propaga-se ao longo do eixo z (termo kz-\omega t) e o campo elétrico tem componentes apenas em x e y (logo é transversal à direção de propagação).

Passo 2

Calcular a amplitude (módulo) do campo elétrico (isso vai aparecer nas fórmulas da intensidade e do Poynting). A amplitude vetorial é
\mathbf{E}_0=10(3\mathbf{i}+\mathbf{j}).
O módulo é dado por raiz da soma dos quadrados das componentes:
\lvert\mathbf{E}_0\rvert = 10\sqrt{3^{2}+1^{2}}=10\sqrt{10}.
Portanto
E_{0}=\lvert\mathbf{E}_0\rvert=10\sqrt{10}.
Explicação curta: calculamos o comprimento do vetor amplitude usando o teorema de Pitágoras em 2D (como se fosse a hipotenusa).

Passo 3

Relação entre \mathbf{E} e \mathbf{B} para uma onda plana no vácuo (derivada de Maxwell): para uma onda harmônica propagando na direção \hat{\mathbf{k}},
\mathbf{B}(z,t)=\frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}(z,t).
Como \mathbf{k}=k\hat{\mathbf{z}} e k=\omega/c, temos
\mathbf{B}(z,t)=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E}(z,t).
Comentário didático: usamos \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t; para campos dependendo de e^{i(kz-\omega t)} isso dá i\mathbf{k}\times\mathbf{E}=i\omega\mathbf{B}, daí \mathbf{B}=(1/\omega)\mathbf{k}\times\mathbf{E}. Substitir k=\omega/c dá a forma com 1/c.

Passo 4

Aplicar a fórmula anterior ao \mathbf{E} dado. Primeiro calcule a operação vetorial \hat{\mathbf{z}}\times(3\mathbf{i}+\mathbf{j}). Usando as regras do produto vetorial:
\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{i}=\mathbf{j},\qquad \hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i}.
Logo
\hat{\mathbf{z}}\times(3\mathbf{i}+\mathbf{j})=3\mathbf{j}-\mathbf{i}=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}.
Substituindo em \mathbf{B}(z,t)=\dfrac{1}{c}\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E}(z,t) e lembrando do fator 10\cos(\cdot) em \mathbf{E}, obtemos
\mathbf{B}(z,t)=\frac{10}{c}\cos\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\bigl(-\mathbf{i}+3\mathbf{j}\bigr),
onde \omega=2\pi\cdot10^{6}. Esta é a função temporal (e espacial) do vetor campo magnético. Observação: o sinal e a direção seguem da regra da mão direita; \mathbf{B} está em fase com \mathbf{E} (mesma dependência \cos(kz-\omega t)).

Passo 5

Escrever o vetor de Poynting instantâneo. Definição do vetor de Poynting em SI:
\mathbf{S}(z,t)=\frac{1}{\mu_{0}}\,\mathbf{E}(z,t)\times\mathbf{B}(z,t).
Substituímos \mathbf{B}(z,t)=\dfrac{1}{c}\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E}(z,t). Então
\mathbf{S}(z,t)=\frac{1}{\mu_{0}c}\,\mathbf{E}(z,t)\times\bigl(\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E}(z,t)\bigr).
Usamos agora a identidade vetorial \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{a})=\mathbf{b}\,\lvert\mathbf{a}\rvert^{2}-\mathbf{a}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}). Como \mathbf{E}(z,t) é transversal a \hat{\mathbf{z}} (não tem componente na direção z), temos \mathbf{E}\cdot\hat{\mathbf{z}}=0. Assim
\mathbf{E}\times(\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E})=\hat{\mathbf{z}}\,\lvert\mathbf{E}\rvert^{2}.
Como \mathbf{E}(z,t)=\mathbf{E}_0\cos(kz-\omega t), tem-se \lvert\mathbf{E}\rvert^{2}=E_{0}^{2}\cos^{2}(kz-\omega t). Portanto o Poynting instantâneo fica
\mathbf{S}(z,t)=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\cos^{2}\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}.
Substituindo E_{0}^{2}=(10\sqrt{10})^{2}=1000 obtemos
\mathbf{S}(z,t)=\frac{1000}{\mu_{0}c}\cos^{2}\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}.
Comentário: o vetor de Poynting aponta para +\hat{\mathbf{z}}, como esperado para uma onda propagando nessa direção. O máximo instantâneo (quando \cos^{2}=1) é S_{\max}=1000/(\mu_{0}c).

Passo 6

Calcular a intensidade (valor médio temporal do Poynting). Para uma função com fator \cos^{2}(kz-\omega t), a média temporal em um período é \langle\cos^{2}\rangle=1/2. Portanto a intensidade (média) é
I=\langle \mathbf{S}\rangle = \frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}\,\hat{\mathbf{z}}.
Em módulo (valor escalar da intensidade):
I=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}.
Podemos reescrever usando \mu_{0}c=\eta_{0} (impedância do vácuo, \eta_{0}\approx 377\\ \Omega) ou usando \varepsilon_{0}c=1/(\mu_{0}c) conforme prefira. Substituindo E_{0}^{2}=1000 e \eta_{0}\approx 377,
I=\frac{1000}{2\cdot 377}\\ \text{W/m}^{2}\approx 1{,}33\\ \text{W/m}^{2}.
Resumo numérico prático: intensidade média I\approx 1{,}33\\ \text{W/m}^{2}.

Resposta

a) \displaystyle I=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}=\frac{1000}{2\mu_{0}c}=\frac{500}{\eta_{0}}\approx 1{,}33\\ \text{W/m}^{2}.\n
b) \displaystyle \mathbf{B}(z,t)=\frac{10}{c}\cos\!\bigl(kz-2\pi\cdot10^{6}t\bigr)\bigl(-\mathbf{i}+3\mathbf{j}\bigr).\n
c) \displaystyle \mathbf{S}(z,t)=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\cos^{2}\!\bigl(kz-2\pi\cdot10^{6}t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}=\frac{1000}{\mu_{0}c}\cos^{2}\!\bigl(kz-2\pi\cdot10^{6}t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}.

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