Se as componentes de F têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e S é a superfície limite de uma região sólida simples, mostre que integral duplaS rot F cdot d S=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial F com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e S a superfície fechada que limita uma região sólida simples V, vale integral duplaS rotFcdot dS=0. O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional de um campo.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que, para qualquer campo vetorial G com derivadas parciais contínuas em V e S=partial V, vale
integral duplaSGcdot dS=integral triplaVdivG,dV
Aqui vamos usar G=rotF.

Passo 3

Pela teoria do cálculo vetorial, o rotacional de F tem divergência nula, isto é,
divl(rotFr)=0,
um resultado que decorre das derivadas parciais de segunda ordem contínuas (as derivadas mistas coincidem).

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência a G=rotF sobre a região V limitada por S, obtemos
integral duplaSrotFcdot dS = integral triplaVdiv(rotF),dV = integral triplaV0,dV = 0

Passo 5

Portanto, o fluxo do rotacional de F através de qualquer superfície fechada S que limite uma região sólida simples é zero.

Resposta

integral duplaSrotFcdot dS=0.

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