Se as componentes de
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e
é a superfície limite de uma região sólida simples, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e
a superfície fechada que limita uma região sólida simples
, vale
. O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional de um campo.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que, para qualquer campo vetorial
com derivadas parciais contínuas em
e
, vale
Aqui vamos usar
.
Passo 3
Pela teoria do cálculo vetorial, o rotacional de
tem divergência nula, isto é,
um resultado que decorre das derivadas parciais de segunda ordem contínuas (as derivadas mistas coincidem).
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência a
sobre a região
limitada por
, obtemos
Passo 5
Portanto, o fluxo do rotacional de
através de qualquer superfície fechada
que limite uma região sólida simples é zero.