Um vetor
orientado para o leste tem magnitude
unidades; outro vetor
orientado para o sul tem magnitude
unidades. Determine:
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores com direções cardeais e magnitudes:
tem magnitude
e aponta para o leste;
tem magnitude
e aponta para o sul. A pergunta é calcular o produto vetorial
. Vou listar as informações importantes:
-
: magnitude , direção leste. -
: magnitude , direção sul. - Pedem
.
Passo 2
Escolhemos um sistema de eixos cartesianos padrão, bem intuitivo:
- eixo
apontando para o leste; - eixo
apontando para o norte; - eixo
apontando para cima.
Esse é um sistema de coordenadas dextrógiro (right-handed), o que facilita usar as regras do produto vetorial. Agora vamos escrever os vetores em componentes usando os vetores unitários: - Como leste é
, temos . - Como sul é o oposto de norte (
), temos .
Expliquei por quetem sinal negativo: sul = direção de .
Passo 3
Lembrando a propriedade básica do produto vetorial para vetores colineares com direções das bases:
-
, -
, -
,
e o produto é anticomutativo:.
Agora aplicamos isso diretamente:
Passo 4
Faço uma verificação extra por duas vias para entender bem o resultado (útil na prova):
- Magnitude: o ângulo entre leste e sul é
, logo
- Direção pelo regra da mão direita: apontando o dedo indicador para leste (
) e o médio para sul ( ), o polegar indica para baixo — isto é, direção . Portanto o produto vetorial aponta para baixo e tem magnitude , consistente com .