Um vetor \mathbf{L} orientado para o leste tem magnitude =6 unidades; outro vetor \mathbf{S} orientado para o sul tem magnitude =8 unidades. Determine:
\mathbf{L} \times \mathbf{S}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores com direções cardeais e magnitudes: \mathbf{L} tem magnitude 6 e aponta para o leste; \mathbf{S} tem magnitude 8 e aponta para o sul. A pergunta é calcular o produto vetorial \mathbf{L}\times\mathbf{S}. Vou listar as informações importantes:
  • \mathbf{L}: magnitude 6, direção leste.
  • \mathbf{S}: magnitude 8, direção sul.
  • Pedem \mathbf{L}\times\mathbf{S}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos cartesianos padrão, bem intuitivo:
  • eixo x apontando para o leste;
  • eixo y apontando para o norte;
  • eixo z apontando para cima.
    Esse é um sistema de coordenadas dextrógiro (right-handed), o que facilita usar as regras do produto vetorial. Agora vamos escrever os vetores em componentes usando os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
  • Como leste é +x, temos \mathbf{L}=6\mathbf{i}.
  • Como sul é o oposto de norte ( -y), temos \mathbf{S}=-8\mathbf{j}.
    Expliquei por que \mathbf{S} tem sinal negativo: sul = - direção de \mathbf{j}.

Passo 3

Lembrando a propriedade básica do produto vetorial para vetores colineares com direções das bases:
  • \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k},
  • \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i},
  • \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j},
    e o produto é anticomutativo: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a}).
    Agora aplicamos isso diretamente:
\mathbf{L}\times\mathbf{S}=(6\mathbf{i})\times(-8\mathbf{j})=6\cdot(-8)\,(\mathbf{i}\times\mathbf{j})=-48\,\mathbf{k}.

Passo 4

Faço uma verificação extra por duas vias para entender bem o resultado (útil na prova):
  1. Magnitude: o ângulo entre leste e sul é 90^\circ, logo
\|\mathbf{L}\times\mathbf{S}\|=\|\mathbf{L}\|\,\|\mathbf{S}\|\,\sin 90^\circ=6\cdot8\cdot1=48.
  1. Direção pelo regra da mão direita: apontando o dedo indicador para leste ( \mathbf{L}) e o médio para sul ( \mathbf{S}), o polegar indica para baixo — isto é, direção -\mathbf{k}. Portanto o produto vetorial aponta para baixo e tem magnitude 48, consistente com -48\mathbf{k}.

Resposta

-48\mathbf{k}

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