Um vetor
orientado para o leste tem magnitude
unidades; outro vetor
orientado para o sul tem magnitude
unidades. Determine:
;
Passo 1
O enunciado dá dois vetores e pede a diferença entre eles. Informações fornecidas:
- Vetor
tem magnitude unidades e está orientado para o leste. - Vetor
tem magnitude unidades e está orientado para o sul.
O que se pede: calcular.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples para representar vetores por componentes:
- eixo
apontando para o leste; - eixo
apontando para o norte.
Definimos os versores (vetores unitários)
para o eixo (leste) e para o eixo (norte).
Explicação didática: qualquer vetor no plano pode ser escrito como
onde
e
são as componentes do vetor nas direções
e
. Essas componentes podem ser positivas ou negativas conforme a orientação.
Passo 3
Vamos escrever
e
em componentes usando a convenção escolhida.
-
aponta para o leste com magnitude , portanto sua componente em é e em é . Logo
-
aponta para o sul com magnitude . Como sul é a direção negativa do eixo , sua componente em é e em é . Logo
Comentário amigável: lembrar que “sul” vira sinal negativo no eixo
porque escolhemos norte como positivo.
Passo 4
Regra para subtração de vetores (explicação passo a passo):
Se e
, então
Se
Aplicando a
e
:
Interpretação geométrica: subtrair um vetor que aponta para o sul é o mesmo que adicionar um vetor de mesma magnitude para o norte, por isso a componente
ficou positiva.
Passo 5
Vamos calcular a magnitude de
e a sua direção (explicando as fórmulas).
Fórmula da magnitude (teorema de Pitágoras para componentes):
Fórmula da magnitude (teorema de Pitágoras para componentes):
Aplicando a
:
Comentário: é um triângulo retângulo
-
-
, um caso clássico.
Passo 6
Direção: o ângulo
medido a partir do leste (eixo
) em sentido anti-horário é dado por
Aqui
e
, então
Interpretação: isso significa “
ao norte do leste”, ou seja, apontando para nordeste com esse ângulo acima do eixo leste.
Passo 7
Recapitulando e encorajamento: fizemos componente por componente (método seguro para prova), calculamos magnitude com Pitágoras e direção com arctan. Fica fácil de fazer na prova: escreva componentes, subtraia componente a componente, e aplique as fórmulas apresentadas.
Resposta
Magnitude