Um vetor \mathbf{L} orientado para o leste tem magnitude =6 unidades; outro vetor \mathbf{S} orientado para o sul tem magnitude =8 unidades. Determine:
\mathbf{L}-\mathbf{S};

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede a diferença entre eles. Informações fornecidas:
  • Vetor \mathbf{L} tem magnitude 6 unidades e está orientado para o leste.
  • Vetor \mathbf{S} tem magnitude 8 unidades e está orientado para o sul.
    O que se pede: calcular \mathbf{L}-\mathbf{S}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples para representar vetores por componentes:
  • eixo x apontando para o leste;
  • eixo y apontando para o norte.
    Definimos os versores (vetores unitários)
    \mathbf{\hat{i}} para o eixo x (leste) e \mathbf{\hat{j}} para o eixo y (norte).
    Explicação didática: qualquer vetor no plano pode ser escrito como
\mathbf{v} = v_x\,\mathbf{\hat{i}} + v_y\,\mathbf{\hat{j}},
onde v_x e v_y são as componentes do vetor nas direções x e y. Essas componentes podem ser positivas ou negativas conforme a orientação.

Passo 3

Vamos escrever \mathbf{L} e \mathbf{S} em componentes usando a convenção escolhida.
  • \mathbf{L} aponta para o leste com magnitude 6, portanto sua componente em x é 6 e em y é 0. Logo
\mathbf{L} = 6\,\mathbf{\hat{i}} + 0\,\mathbf{\hat{j}}.
  • \mathbf{S} aponta para o sul com magnitude 8. Como sul é a direção negativa do eixo y, sua componente em x é 0 e em y é -8. Logo
\mathbf{S} = 0\,\mathbf{\hat{i}} - 8\,\mathbf{\hat{j}}.
Comentário amigável: lembrar que “sul” vira sinal negativo no eixo y porque escolhemos norte como positivo.

Passo 4

Regra para subtração de vetores (explicação passo a passo):
Se \mathbf{A} = A_x\,\mathbf{\hat{i}} + A_y\,\mathbf{\hat{j}} e \mathbf{B} = B_x\,\mathbf{\hat{i}} + B_y\,\mathbf{\hat{j}}, então
\mathbf{A}-\mathbf{B} = (A_x-B_x)\,\mathbf{\hat{i}} + (A_y-B_y)\,\mathbf{\hat{j}}.
Aplicando a \mathbf{L} e \mathbf{S}:
\mathbf{L}-\mathbf{S} = (6-0)\,\mathbf{\hat{i}} + (0-(-8))\,\mathbf{\hat{j}} = 6\,\mathbf{\hat{i}} + 8\,\mathbf{\hat{j}}.
Interpretação geométrica: subtrair um vetor que aponta para o sul é o mesmo que adicionar um vetor de mesma magnitude para o norte, por isso a componente y ficou positiva.

Passo 5

Vamos calcular a magnitude de \mathbf{L}-\mathbf{S} e a sua direção (explicando as fórmulas).
Fórmula da magnitude (teorema de Pitágoras para componentes):
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.
Aplicando a \mathbf{v} = \mathbf{L}-\mathbf{S} = (6,8):
\|\mathbf{L}-\mathbf{S}\| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.
Comentário: é um triângulo retângulo 6- 8- 10, um caso clássico.

Passo 6

Direção: o ângulo \theta medido a partir do leste (eixo x) em sentido anti-horário é dado por
\theta = \arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right).
Aqui v_x=6 e v_y=8, então
\theta = \arctan\!\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53,13^\circ.
Interpretação: isso significa “ 53,13^\circ ao norte do leste”, ou seja, apontando para nordeste com esse ângulo acima do eixo leste.

Passo 7

Recapitulando e encorajamento: fizemos componente por componente (método seguro para prova), calculamos magnitude com Pitágoras e direção com arctan. Fica fácil de fazer na prova: escreva componentes, subtraia componente a componente, e aplique as fórmulas apresentadas.

Resposta

\mathbf{L}-\mathbf{S} = 6\,\mathbf{\hat{i}} + 8\,\mathbf{\hat{j}}
Magnitude =10 unidades; direção =53,13^\circ ao norte do leste.

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