Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar de 180^{\circ} na presença deste campo, partindo da posição em que a energia potencial é mínima, \theta=0^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar de 180^\circ na presença deste campo, partindo da posição em que a energia potencial é mínima, \theta=0^\circ ?”\n
Informações dadas (ou implicitamente necessárias e assumidas, pois o enunciado é padrão nesse tipo de problema):
\;\; - A molécula tem momento de dipolo elétrico de módulo \,p\; (vetor \mathbf{p}).\n
\;\; - Existe um campo elétrico uniforme de módulo \,E\; (vetor \mathbf{E}).\n
\;\; - O ângulo entre \mathbf{p} e \mathbf{E} é \theta. A posição inicial é \theta_1=0^\circ (energia mínima) e a posição final é \theta_2=180^\circ.\n
\;\; - Precisamos do trabalho realizado por um agente externo para efetuar essa rotação (assumimos processo quasi‑estático, ou seja, mínimo trabalho possível contra o campo).\n

Passo 2

Vamos apresentar a expressão da energia potencial de um dipolo numa campo elétrico uniforme e explicar de onde vem, passo a passo.\n
Definição: a energia potencial de um dipolo orientado com ângulo \theta em relação ao campo é
U(\theta) = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E} = -pE\cos\theta.
Explicação didática: \mathbf{p} é o vetor momento de dipolo (módulo p), \mathbf{E} é o vetor campo elétrico (módulo E), e \theta é o ângulo entre eles. O produto escalar \mathbf{p}\cdot\mathbf{E}=pE\cos\theta dá a componente de \mathbf{p} alinhada com \mathbf{E}; o sinal negativo indica que quando \mathbf{p} está alinhado com \mathbf{E} ( \theta=0) a energia é mínima ( U=-pE).\n
Breve justificativa (rápida derivação): a torque que o campo exerce sobre o dipolo tem módulo \tau = pE\sin\theta. Se girarmos o dipolo de um ângulo infinitesimal d\theta, o trabalho feito pelo torque do campo é -\tau\,d\theta (pois esse trabalho diminui a energia potencial). Integrando essa relação obtemos U(\theta)=-pE\cos\theta. Esta é a forma padrão e importante de decorar/usar na prova.\n

Passo 3

Calcule a energia potencial na posição inicial \theta_1=0^\circ.\n
Usando a fórmula,
U(0^\circ) = -pE\cos 0^\circ = -pE\cdot 1 = -pE.
Interpretação: essa é a energia mínima, conforme enunciado.\n

Passo 4

Calcule a energia potencial na posição final \theta_2=180^\circ.\n
Usando a mesma fórmula,
U(180^\circ) = -pE\cos 180^\circ = -pE\cdot(-1) = +pE.
Interpretação: a dipolo ficou anti‑alinhado com o campo, com energia máxima +pE.\n

Passo 5

O trabalho mínimo que o agente externo precisa realizar (processo quasi‑estático, ou seja, fazendo o giro devagar contra o torque do campo) é igual ao aumento da energia potencial do sistema, isto é,
W_{\text{ext}} = \Delta U = U(180^\circ)-U(0^\circ).
Calcule a diferença:
\Delta U = pE - (-pE) = 2pE.
Interpretação física: o agente externo fornece energia para levar o dipolo da configuração de menor energia para a de maior energia; essa energia fornecida fica armazenada como energia potencial do dipolo no campo.\n

Passo 6

Como checagem alternativa (útil na prova): calcular o trabalho integrando o torque externo. O torque externo necessário para equilibrar o torque do campo tem módulo \tau_{\text{ext}}=pE\sin\theta, e
W_{\text{ext}}=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \tau_{\text{ext}}\,d\theta = \int_{0}^{\pi} pE\sin\theta\,d\theta = pE\big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi}=pE(-\cos\pi+\cos0)=2pE,
o que coincide com o resultado pelo método da energia potencial. Ótimo — dois caminhos, mesma resposta!\n
Força extra de ânimo: você já viu a ideia central — usar U(\theta)=-pE\cos\theta e calcular a variação. Na prova vale fazer esse raciocínio direto e rápido.\n

Resposta

W_{\text{ext}}=2pE

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