Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
\mathbb{Z}_{1}; multiplicação

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto \mathbb{Z}_{1} (isto é, o conjunto \{0\} com adição módulo 1) é um grupo em relação à operação de multiplicação (no próprio conjunto reduzido a um elemento). Para responder, vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.

Passo 2

Fechamento: seja a,b\in\mathbb{Z}_{1}. Então necessariamente a=0 e b=0. A multiplicação é
a\cdot b = 0\cdot 0 = 0,
e 0\in\mathbb{Z}_{1}. Logo, a multiplicação permanece no conjunto, satisfazendo o fechamento.

Passo 3

Associatividade: a multiplicação de inteiros (mesmo que só o zero) é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Z}_{1},
(a\cdot b)\cdot c = 0\cdot 0 = 0 \quad\text{e}\quad a\cdot(b\cdot c)=0\cdot 0 = 0,
logo (a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).

Passo 4

Elemento neutro: procuramos e\in\mathbb{Z}_{1} tal que e\cdot a = a para todo a. Como o único candidato é 0, testamos
0\cdot 0 = 0,
o que coincide com a=0. Portanto, 0 é o elemento neutro da operação.

Passo 5

Inversos: para cada a\in\mathbb{Z}_{1} buscamos a^{-1} tal que a\cdot a^{-1}=e. Como a=0 e e=0, basta notar que
0\cdot 0 = 0 = e.
Assim, 0 é seu próprio inverso.

Resposta

\mathbb{Z}_{1} com a operação de multiplicação forma o grupo trivial.

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