Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
; multiplicação
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
(isto é, o conjunto
com adição módulo 1) é um grupo em relação à operação de multiplicação (no próprio conjunto reduzido a um elemento). Para responder, vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.
Passo 2
Fechamento: seja
. Então necessariamente
e
. A multiplicação é
e
. Logo, a multiplicação permanece no conjunto, satisfazendo o fechamento.
Passo 3
Associatividade: a multiplicação de inteiros (mesmo que só o zero) é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer
,
logo
.
Passo 4
Elemento neutro: procuramos
tal que
para todo
. Como o único candidato é
, testamos
o que coincide com
. Portanto,
é o elemento neutro da operação.
Passo 5
Inversos: para cada
buscamos
tal que
. Como
e
, basta notar que
Assim,
é seu próprio inverso.