O vetor posição de um corpo em função do tempo t \in \mathbb{R} é dado por
\vec{r}(t)=\left(t-t^{2}\right) \vec{i}-t^{2} \vec{j}
Determine o instante t^{*} no qual a velocidade, em norma, atinge seu valor mínimo e esse valor.
Resp.: t^{*}=1 / 4, e\left\|v\left(t^{*}\right)\right\|=1 / \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um corpo em função do tempo
\vec{r}(t) = \bigl(t - t^{2}\bigr)\,\vec{i} - t^{2}\,\vec{j}
e pede o instante t^{*} em que a norma da velocidade é mínima e esse valor mínimo. Para resolver, vamos
  1. obter a velocidade \vec{v}(t) como derivada de \vec{r}(t),
  2. escrever a norma ao quadrado \|\vec{v}(t)\|^{2},
  3. minimizar essa função quadrática derivando-a e igualando a zero,
  4. verificar que é mínimo e calcular a norma correspondente.

Passo 2

Derivando componente a componente temos
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t - t^{2}\bigr)\,\vec{i} \;+\;\frac{d}{dt}\bigl(-t^{2}\bigr)\,\vec{j} = (1 - 2t)\,\vec{i} + (-2t)\,\vec{j}.

Passo 3

A norma ao quadrado de \vec{v}(t) é
\|\vec{v}(t)\|^{2} = (1 - 2t)^{2} + (-2t)^{2} = 1 - 4t + 4t^{2} + 4t^{2} = 1 - 4t + 8t^{2}.

Passo 4

Para encontrar o mínimo de \|\vec{v}(t)\|^{2}, derivamos em t:
\frac{d}{dt}\bigl(1 - 4t + 8t^{2}\bigr) = -4 + 16t.
Igualando a zero:
-4 + 16t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{1}{4}.
Como a segunda derivada é 16>0, esse ponto é de mínimo.

Passo 5

O valor mínimo da norma é
\|\vec{v}(1/4)\| = \sqrt{1 - 4\cdot\tfrac{1}{4} + 8\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}} = \sqrt{1 - 1 + 8\cdot\tfrac{1}{16}} = \sqrt{\tfrac{8}{16}} = \sqrt{\tfrac12} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

t^{*} = \tfrac{1}{4} e \|\vec{v}(t^{*})\| = \tfrac{1}{\sqrt{2}}.

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