A partir das seguintes informações sobre a trajetória de um corpo:
\vec{a}(t)=\vec{i}+e^{-t} \vec{j}, \quad \vec{v}(0)=2 \vec{i}+\vec{j}, \quad \text { e } \quad \vec{r}(0)=\vec{i}-\vec{j},
determine o seu vetor posição em função de t.
Resp.: \vec{r}(t)=\left(\frac{1}{2} t^{2}+2 t+1\right) \vec{i}+\left(e^{-t}+2 t-2\right) \vec{j}.

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração \vec{a}(t)=\vec{i}+e^{-t}\vec{j},
com as condições iniciais \vec{v}(0)=2\vec{i}+\vec{j} e \vec{r}(0)=\vec{i}-\vec{j}.
Para encontrar \vec{r}(t) vamos integrar duas vezes: primeiro \vec{a}(t) \vec{v}(t), depois \vec{v}(t) \vec{r}(t), usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos cada componente de \vec{a}(t) para obter \vec{v}(t).
O componente i é a_i(t)=1, então
v_i(t)=\int 1\,dt + C_i = t + C_i.
Como v_i(0)=2, temos
2 = v_i(0) = 0 + C_i \quad\Longrightarrow\quad C_i = 2,
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v_i(t)=t+2.
O componente j é a_j(t)=e^{-t}, então
v_j(t)=\int e^{-t}\,dt + C_j = -e^{-t} + C_j.
Como v_j(0)=1,
1 = v_j(0) = -1 + C_j \quad\Longrightarrow\quad C_j = 2,
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v_j(t)=-e^{-t}+2.
Portanto
\vec{v}(t) = (t+2)\,\vec{i} + \bigl(-e^{-t}+2\bigr)\,\vec{j}.

Passo 3

Agora integramos \vec{v}(t) para achar \vec{r}(t).
Para o componente i:
r_i(t)=\int (t+2)\,dt + D_i = \frac{t^2}{2} + 2t + D_i.
Como r_i(0)=1,
1 = r_i(0) = 0 + 0 + D_i \quad\Longrightarrow\quad D_i = 1,
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r_i(t)=\frac{t^2}{2} + 2t + 1.
Para o componente j:
r_j(t)=\int\bigl(-e^{-t}+2\bigr)\,dt + D_j = \int -e^{-t}\,dt + \int 2\,dt + D_j = e^{-t} + 2t + D_j.
Como r_j(0)=-1,
-1 = r_j(0) = 1 + 0 + D_j \quad\Longrightarrow\quad D_j = -2,
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r_j(t)=e^{-t} + 2t - 2.
Assim obtemos
\vec{r}(t)=\Bigl(\tfrac12\,t^2 + 2t + 1\Bigr)\vec{i} + \bigl(e^{-t} + 2t - 2\bigr)\vec{j}.

Resposta

\vec{r}(t)=\Bigl(\tfrac12\,t^{2}+2t+1\Bigr)\vec{i}+\bigl(e^{-t}+2t-2\bigr)\vec{j}.

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