Determine o deslocamento total de um corpo ao longo do intervalo de tempo [0,3 \pi / 2] cujo vetor posição é dado por
\vec{r}(t)=(1-3 \sin (t)) \vec{i}+3 \cos (t) \vec{j}-3 \vec{k}
Resp.: o deslocamento é 9 \pi / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\vec r(t)=(1-3\sin(t))\,\vec i+3\cos(t)\,\vec j-3\,\vec k
e pede o deslocamento total (distância percorrida) no intervalo [0,3\pi/2]. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco, usando a fórmula
\text{comprimento}=\int_{a}^{b}\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Derivamos cada componente para obter
\vec r'(t)=-3\cos(t)\,\vec i-3\sin(t)\,\vec j+0\,\vec k.

Passo 3

Calculamos a norma de \vec r'(t):
\bigl\|\vec r'(t)\bigr\| =\sqrt{(-3\cos(t))^2+(-3\sin(t))^2+0^2} =\sqrt{9\cos^2(t)+9\sin^2(t)} =3.

Passo 4

Como a velocidade é constante igual a 3, o comprimento do arco é
\int_{0}^{3\pi/2}\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{3\pi/2}3\,dt =3\cdot\frac{3\pi}{2} =\frac{9\pi}{2}.

Resposta

O deslocamento total é \displaystyle \frac{9\pi}{2}.

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