O vetor posição de um elétron é \vec{r}=(5,0 m) i-(3,0 m) j+A(2,0 m) k. (a) Determine o módulo de \vec{r}. (b) a orientação do vetor.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
\vec{r} = (5{,}0\\ \text{m})\,\mathbf{i} - (3{,}0\\ \text{m})\,\mathbf{j} + A(2{,}0\\ \text{m})\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o módulo de \vec{r}.
  2. (b) Determinar a orientação do vetor (ou seja, a sua direção).
    Informações relevantes: os componentes cartesianas são x=5{,}0\\ \text{m}, y=-3{,}0\\ \text{m} e z=2{,}0\,A\\ \text{m}. A constante A é um parâmetro (não numérico dado), portanto as respostas devem ficar em função de A.

Passo 2

O que significa “módulo” de um vetor em 3D? É o comprimento do vetor, que se calcula pela generalização do teorema de Pitágoras para três dimensões: somamos os quadrados das componentes e tiramos a raiz quadrada. Se \vec{r}=(x,y,z), então
|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui x, y e z são as componentes cartesianas (medidas em metros), e |\vec{r}| terá unidade metro.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor dado: substituímos x=5{,}0, y=-3{,}0 e z=2{,}0\,A. Assim
|\vec{r}|=\sqrt{(5{,}0)^{2}+(-3{,}0)^{2}+(2{,}0\,A)^{2}}.
Agora fazemos as potências (mostrando os passos para você poder replicar sem calculadora):
(5{,}0)^{2}=25{,}0,\qquad (-3{,}0)^{2}=9{,}0,\qquad (2{,}0\,A)^{2}=4{,}0\,A^{2}.

Passo 4

Somando os termos numéricos:
25{,}0+9{,}0=34{,}0.
Logo o módulo fica
|\vec{r}|=\sqrt{34{,}0 + 4{,}0\,A^{2}}\\ \text{m}.
(Se preferir, pode escrever sem o zero decimal: \sqrt{34+4A^{2}}\\ \text{m}.)

Passo 5

Agora: o que significa “orientação” do vetor? Uma forma direta e muito usada é dar o vetor unitário na direção de \vec{r}. O vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção de \vec{r}; denotamos por \hat{r} e calculamos dividindo \vec{r} pelo seu módulo:
\hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}.
Esse vetor é adimensional (as unidades de comprimento cancelam).

Passo 6

Dividimos componente a componente. Escrevendo \vec{r} explicitamente em termos das componentes:
\vec{r}=5{,}0\,\mathbf{i}-3{,}0\,\mathbf{j}+2{,}0\,A\,\mathbf{k}.
Portanto
\hat{r}=\dfrac{1}{\sqrt{34{,}0+4{,}0\,A^{2}}}\bigl(5{,}0\,\mathbf{i}-3{,}0\,\mathbf{j}+2{,}0\,A\,\mathbf{k}\bigr).

Passo 7

É útil também saber as “cosenos diretores” (os cossenos dos ângulos entre \vec{r} e cada eixo). Se \alpha é o ângulo com o eixo x, \beta com o eixo y e \gamma com o eixo z, então
\cos\alpha=\dfrac{x}{|\vec{r}|}=\dfrac{5{,}0}{\sqrt{34{,}0+4{,}0\,A^{2}}},\qquad \cos\beta=\dfrac{y}{|\vec{r}|}=\dfrac{-3{,}0}{\sqrt{34{,}0+4{,}0\,A^{2}}},\qquad \cos\gamma=\dfrac{z}{|\vec{r}|}=\dfrac{2{,}0\,A}{\sqrt{34{,}0+4{,}0\,A^{2}}}.
Se você precisar dos ângulos em graus na prova, pode usar \alpha=\operatorname{arccos}(\cos\alpha), etc., mas isso exige calculadora. Em muitos exercícios basta apresentar os cosenos diretores ou o vetor unitário.

Passo 8

Resumo prático para a prova: (i) calcule o módulo com \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}; (ii) divida as componentes pelo módulo para obter a orientação (vetor unitário). Sempre explique units: componentes em metros, módulo em metros, vetor unitário adimensional.

Resposta

\displaystyle |\vec{r}|=\sqrt{34{,}0+4{,}0\,A^{2}}\\ \text{m}
\displaystyle \hat{r}=\dfrac{1}{\sqrt{34{,}0+4{,}0\,A^{2}}}\bigl(5{,}0\,\mathbf{i}-3{,}0\,\mathbf{j}+2{,}0\,A\,\mathbf{k}\bigr)

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