O vetor posição de um elétron é
. (a) Determine o módulo de
. (b) a orientação do vetor.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
e pede duas coisas:
- (a) Determinar o módulo de
. - (b) Determinar a orientação do vetor (ou seja, a sua direção).
Informações relevantes: os componentes cartesianas são, e . A constante é um parâmetro (não numérico dado), portanto as respostas devem ficar em função de .
Passo 2
O que significa “módulo” de um vetor em 3D? É o comprimento do vetor, que se calcula pela generalização do teorema de Pitágoras para três dimensões: somamos os quadrados das componentes e tiramos a raiz quadrada. Se
, então
Aqui
,
e
são as componentes cartesianas (medidas em metros), e
terá unidade metro.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao vetor dado: substituímos
,
e
. Assim
Agora fazemos as potências (mostrando os passos para você poder replicar sem calculadora):
Passo 4
Somando os termos numéricos:
Logo o módulo fica
(Se preferir, pode escrever sem o zero decimal:
.)
Passo 5
Agora: o que significa “orientação” do vetor? Uma forma direta e muito usada é dar o vetor unitário na direção de
. O vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção de
; denotamos por
e calculamos dividindo
pelo seu módulo:
Esse vetor é adimensional (as unidades de comprimento cancelam).
Passo 6
Dividimos componente a componente. Escrevendo
explicitamente em termos das componentes:
Portanto
Passo 7
É útil também saber as “cosenos diretores” (os cossenos dos ângulos entre
e cada eixo). Se
é o ângulo com o eixo
,
com o eixo
e
com o eixo
, então
Se você precisar dos ângulos em graus na prova, pode usar
, etc., mas isso exige calculadora. Em muitos exercícios basta apresentar os cosenos diretores ou o vetor unitário.
Passo 8
Resumo prático para a prova: (i) calcule o módulo com
; (ii) divida as componentes pelo módulo para obter a orientação (vetor unitário). Sempre explique units: componentes em metros, módulo em metros, vetor unitário adimensional.