vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
(a) Encontre o vetor deslocamento do objeto entre os instantes de tempo
e
. (b) Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo. © Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo
? Faça um esboço desse vetor.
(a) Encontre o vetor deslocamento do objeto entre os instantes de tempo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata do movimento de um objeto em um plano, e a gente tem a função posição dele em função do tempo. Vamos precisar usar conceitos de deslocamento vetorial, velocidade vetorial e aceleração vetorial. Vamos lá resolver passo a passo as três partes do exercício.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o vetor deslocamento entre $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos.
Primeiro, o que é deslocamento? Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial do objeto. Como temos a função posição $ \vec{r}(t) $, vamos calcular $ \vec{r}(2) - \vec{r}(0) $.
Vamos calcular $ \vec{r}(0) $ e $ \vec{r}(2) $:
Agora, subtraímos $ \vec{r}(0) $ de $ \vec{r}(2) $:
Passo 3
Parte (b): Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo.
A velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ \vec{r}(t) $ em relação a $ t $.
Dada:
Derivando cada componente:
Então, a expressão geral da velocidade é:
Passo 4
Parte ©: Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo $ t = 2 $ segundos? Faça um esboço desse vetor.
A aceleração vetorial é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar $ \vec{v}(t) $:
Derivando:
Para $ t = 2 $ segundos, a aceleração é:
Esboço do vetor aceleração:
O vetor aceleração $ \vec{a}(2) $ aponta apenas na direção negativa de $ \hat{j} $ com magnitude $ 2.4 , m/s^2 $. Imagine um vetor apontando para baixo no plano cartesiano, sem componente na direção $ \hat{i} $.
Resposta
(a) O vetor deslocamento é $ \Delta \vec{r} = 4.8, \hat{i} - 4.8, \hat{j} $ metros.
(b) A expressão geral da velocidade em função do tempo é $ \vec{v}(t) = 2.4, \hat{i} - 2.4 t, \hat{j} $ m/s.
© A aceleração instantânea no tempo $ t = 2 $ segundos é $ \vec{a}(2) = -2.4, \hat{j} $ m/s², representada por um vetor apontando para baixo no plano.