O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
r(t)=2,4 t i+(3,0-1,2 t^2) j
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
(a) Encontre o vetor deslocamento do objeto entre os instantes de tempo t=0 e t =2 s. (b) Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo. © Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo t=2 s ? Faça um esboço desse vetor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata do movimento de um objeto em um plano, e a gente tem a função posição dele em função do tempo. Vamos precisar usar conceitos de deslocamento vetorial, velocidade vetorial e aceleração vetorial. Vamos lá resolver passo a passo as três partes do exercício.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o vetor deslocamento entre $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos.
Primeiro, o que é deslocamento? Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial do objeto. Como temos a função posição $ \vec{r}(t) $, vamos calcular $ \vec{r}(2) - \vec{r}(0) $.
Vamos calcular $ \vec{r}(0) $ e $ \vec{r}(2) $:
t = 0
t = 2
Agora, subtraímos $ \vec{r}(0) $ de $ \vec{r}(2) $:
r(t)

Passo 3

Parte (b): Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo.
A velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ \vec{r}(t) $ em relação a $ t $.
Dada:
r(t)
Derivando cada componente:
t
Então, a expressão geral da velocidade é:
r(t) = 2.4 t, i + (3.0 - 1.2 t^2), j

Passo 4

Parte ©: Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo $ t = 2 $ segundos? Faça um esboço desse vetor.
A aceleração vetorial é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar $ \vec{v}(t) $:
t = 2
Derivando:
v(t)
Para $ t = 2 $ segundos, a aceleração é:
v(t) = 2.4, i - 2.4 t, j
Esboço do vetor aceleração:
O vetor aceleração $ \vec{a}(2) $ aponta apenas na direção negativa de $ \hat{j} $ com magnitude $ 2.4 , m/s^2 $. Imagine um vetor apontando para baixo no plano cartesiano, sem componente na direção $ \hat{i} $.

Resposta

(a) O vetor deslocamento é $ \Delta \vec{r} = 4.8, \hat{i} - 4.8, \hat{j} $ metros.
(b) A expressão geral da velocidade em função do tempo é $ \vec{v}(t) = 2.4, \hat{i} - 2.4 t, \hat{j} $ m/s.
© A aceleração instantânea no tempo $ t = 2 $ segundos é $ \vec{a}(2) = -2.4, \hat{j} $ m/s², representada por um vetor apontando para baixo no plano.

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