O vetor posição de uma partícula que se move no plano x y é dado por:
\vec{r}=\left(\frac{2}{5} t^{3}-\frac{3}{5} t^{2}\right) \hat{i}+\frac{1}{6} t^{4} \hat{j} em segundos.
\vec{r} é dado em metros. Determine o vetor deslocamento entre os instantes 4 s e 5 s. Determine também os vetores velocidade e aceleraçāo instantânea para t=4 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
\vec{r}(t)=\biggl(\tfrac{2}{5}t^{3}-\tfrac{3}{5}t^{2}\biggr)\hat{i}+\tfrac{1}{6}t^{4}\,\hat{j}
com t em segundos e \vec{r} em metros. Queremos (a) o deslocamento entre t_{1}=4 s e t_{2}=5 s, (b) a velocidade instantânea \vec{v}(4) e (c) a aceleração instantânea \vec{a}(4). Vamos usar que
\Delta \vec{r}=\vec{r}(t_{2})-\vec{r}(t_{1}), \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt} e \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.

Passo 2

Calcular \vec{r}(5), \vec{r}(4) e então
\Delta \vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(4).
Para t=5:
x(5)=\tfrac{2}{5}\cdot125-\tfrac{3}{5}\cdot25=50-15=35,\quad y(5)=\tfrac{1}{6}\cdot625=\tfrac{625}{6}.
Para t=4:
x(4)=\tfrac{2}{5}\cdot64-\tfrac{3}{5}\cdot16=\tfrac{128-48}{5}=16,\quad y(4)=\tfrac{1}{6}\cdot256=\tfrac{256}{6}=\tfrac{128}{3}.
Logo
\Delta x=35-16=19,\quad \Delta y=\tfrac{625}{6}-\tfrac{128}{3}=\tfrac{625-256}{6}=\tfrac{369}{6}=\tfrac{123}{2}.

Passo 3

Determinar \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}. Derivando componente a componente:
v_{x}(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{2}{5}t^{3}-\tfrac{3}{5}t^{2}\Bigr) =\tfrac{6}{5}t^{2}-\tfrac{6}{5}t, \quad v_{y}(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{6}t^{4}\Bigr)=\tfrac{4}{6}t^{3}=\tfrac{2}{3}t^{3}.
Em t=4:
v_{x}(4)=\tfrac{6}{5}\cdot16-\tfrac{6}{5}\cdot4=\tfrac{96-24}{5}=\tfrac{72}{5}, \quad v_{y}(4)=\tfrac{2}{3}\cdot64=\tfrac{128}{3}.

Passo 4

Determinar \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}. Derivando:
a_{x}(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{6}{5}t^{2}-\tfrac{6}{5}t\Bigr) =\tfrac{12}{5}t-\tfrac{6}{5}, \quad a_{y}(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{2}{3}t^{3}\Bigr)=2t^{2}.
Em t=4:
a_{x}(4)=\tfrac{12}{5}\cdot4-\tfrac{6}{5}=\tfrac{48-6}{5}=\tfrac{42}{5}, \quad a_{y}(4)=2\cdot16=32.

Resposta

O vetor deslocamento entre 4,s e 5,s é
\Delta \vec{r}=19\,\hat{i}+\tfrac{123}{2}\,\hat{j}\\ \mathrm{m}.
A velocidade instantânea em t=4,s é
\vec{v}(4)=\tfrac{72}{5}\,\hat{i}+\tfrac{128}{3}\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.
A aceleração instantânea em t=4,s é
\vec{a}(4)=\tfrac{42}{5}\,\hat{i}+32\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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