1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=5 \mathrm{Kg} està em repouso sobre uma superficie horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao blocc. A força \theta dada por \vec{F}(x)=10 x i \mathrm{~N}, onde x está em metros e a posiçao inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual è a velocidade do bloco ao passar pelo ponto x=6 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m=5\:\mathrm{kg} sobre superfície sem atrito, sujeito a uma força variável ao longo do eixo x, \vec{F}(x)=10\,x\,\mathbf{i}\:\mathrm{N}. Queremos a velocidade no ponto x=6\:\mathrm{m}. O conteúdo é o Teorema Trabalho-Energia cinética: o trabalho da força resultante iguala a variação da energia cinética.

Passo 2

Calculamos o trabalho realizado pela força quando o bloco se desloca de x=0 até x=6. Como a força é variável e paralela ao deslocamento,
W = \int_{0}^{6} F(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{6} 10\,x\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Fazendo a integração,
W = 10 \int_{0}^{6} x\,\mathrm{d}x = 10 \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{6} = 10 \cdot \frac{6^{2}}{2} = 10 \cdot 18 = 180\:\mathrm{J}.

Passo 4

Pelo Teorema Trabalho-Energia cinética, temos
W = \Delta K = \frac{1}{2}\,m\,v^{2} - 0,
já que v(0)=0. Logo,
\frac{1}{2}\,m\,v^{2} = 180\:\mathrm{J}.

Passo 5

Isolando v,
v = \sqrt{\frac{2\cdot 180}{m}} = \sqrt{\frac{360}{5}} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\:\mathrm{m/s} \approx 8{,}49\:\mathrm{m/s}.

Resposta

v = 6\sqrt{2}\:\mathrm{m/s}\approx 8{,}49\:\mathrm{m/s}.

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