O vetor posição de uma partícula em movimento é
.
Em que sentido a partícula se move quando
aumenta? Justifique a sua resposta.
Em que sentido a partícula se move quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o vetor posição de uma partícula em movimento, dado por
. O que precisamos descobrir é em que direção a partícula está se movendo quando o tempo
aumenta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada do vetor posição para encontrar o vetor velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada do vetor posição em relação ao tempo
. Ou seja, precisamos calcular
.
Vamos derivar cada componente de
:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 3
Agora que temos o vetor velocidade, vamos analisar sua direção quando
aumenta. O vetor velocidade indica a direção e o sentido do movimento da partícula. Vamos simplificar
:
Podemos fatorar o numerador:
Isso significa que, para diferentes valores de
, a direção do vetor velocidade muda. Para entender melhor, podemos analisar alguns casos:
-
Quando
: - A componente
do vetor velocidade é negativa, indicando que a partícula está se movendo para a esquerda no eixo . - A componente
depende do valor de : se , ela é positiva (movendo para cima); se , ela é negativa (movendo para baixo).
- A componente
-
Quando
: - A componente
é positiva, indicando movimento para a direita no eixo . - A componente
também depende do valor de : se , positiva; se , negativa.
- A componente
Passo 4
Concluindo, à medida que
aumenta, a direção do movimento da partícula varia dependendo do valor de
. Em geral:
- Para
, a partícula se move para a esquerda no eixo e pode mover-se para cima ou para baixo no eixo dependendo se é menor ou maior que 1. - Para
, a partícula se move para a direita no eixo com uma alteração similar na direção do eixo .
Resposta
À medida que
aumenta, a partícula se move principalmente para a esquerda no eixo
e pode alternar a direção no eixo
, dependendo do valor de
. Isso é determinado pelo vetor velocidade derivado de
, que indica a direção e o sentido do movimento.