O vetor posição de uma partícula em movimento é sigma(t)=(1-t^21+t^2, 2 t1+t^2).
Em que sentido a partícula se move quando t aumenta? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o vetor posição de uma partícula em movimento, dado por sigma(t)=(1-t^21+t^2, 2 t1+t^2). O que precisamos descobrir é em que direção a partícula está se movendo quando o tempo t aumenta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada do vetor posição para encontrar o vetor velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada do vetor posição em relação ao tempo t. Ou seja, precisamos calcular sigma'(t) = ddtsigma(t).
Vamos derivar cada componente de sigma(t):
Para a primeira componente:
ddt(1 - t^21 + t^2) = ( -2t)(1 + t^2) - (1 - t^2)(2t)(1 + t^2)^2 = -2t - 2t^3 - 2t + 2t^3(1 + t^2)^2 = -4t(1 + t^2)^2
Para a segunda componente:
ddt(2t1 + t^2) = 2(1 + t^2) - 2t(2t)(1 + t^2)^2 = 2 + 2t^2 - 4t^2(1 + t^2)^2 = 2 - 2t^2(1 + t^2)^2
Então, o vetor velocidade é:
sigma'(t) = ( -4t(1 + t^2)^2, 2 - 2t^2(1 + t^2)^2 )

Passo 3

Agora que temos o vetor velocidade, vamos analisar sua direção quando t aumenta. O vetor velocidade indica a direção e o sentido do movimento da partícula. Vamos simplificar sigma'(t):
Podemos fatorar o numerador:
sigma'(t) = -4t(1 + t^2)^2 i + 2(1 - t^2)(1 + t^2)^2 j
Isso significa que, para diferentes valores de t, a direção do vetor velocidade muda. Para entender melhor, podemos analisar alguns casos:
  • Quando t > 0:
    • A componente x do vetor velocidade é negativa, indicando que a partícula está se movendo para a esquerda no eixo x.
    • A componente y depende do valor de t: se t < 1, ela é positiva (movendo para cima); se t > 1, ela é negativa (movendo para baixo).
  • Quando t < 0:
    • A componente x é positiva, indicando movimento para a direita no eixo x.
    • A componente y também depende do valor de t: se |t| < 1, positiva; se |t| > 1, negativa.

Passo 4

Concluindo, à medida que t aumenta, a direção do movimento da partícula varia dependendo do valor de t. Em geral:
  • Para t > 0, a partícula se move para a esquerda no eixo x e pode mover-se para cima ou para baixo no eixo y dependendo se t é menor ou maior que 1.
  • Para t < 0, a partícula se move para a direita no eixo x com uma alteração similar na direção do eixo y.

Resposta

À medida que t aumenta, a partícula se move principalmente para a esquerda no eixo x e pode alternar a direção no eixo y, dependendo do valor de t. Isso é determinado pelo vetor velocidade derivado de sigma(t), que indica a direção e o sentido do movimento.

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