Faça a análise de sinal de cada função e determine os limites indicados:
lim x 1 x^3-x-1(1-x)^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal das expressões envolvidas e calcular o comportamento de x^3 - x - 1(1-x)^3 quando x se aproxima de 1. Vamos usar análise de sinal e limites laterais para chegar ao resultado.

Passo 2

Primeiro, avalio o valor da função no ponto x=1. A substituição direta dá numerador 1^3 - 1 - 1 = -1 e denominador (1-1)^3 = 0. Isso indica uma forma número não zero0úã, logo o limite é infinito ou não existe – é preciso analisar o sinal.

Passo 3

Como o numerador x^3 - x - 1 é contínuo e vale -1 em x=1, ele permanece negativo em toda vizinhança de x=1.

Passo 4

O denominador é (1-x)^3. O sinal de (1-x)^3 é o mesmo de 1-x:
Para x<1, 1-x>0 então (1-x)^3>0.
Para x>1, 1-x<0 então (1-x)^3<0.

Passo 5

Para o limite lateral pela esquerda xto1^-: numerador negativo e denominador positivo pequeno implicam quociente negativo de módulo crescente. Logo
limxto1^-x^3-x-1(1-x)^3=-infty

Passo 6

Para o limite lateral pela direita xto1^+: numerador negativo e denominador negativo pequeno tornam o quociente positivo de módulo crescente. Logo
limxto1^+x^3-x-1(1-x)^3=+infty

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes, o limite duplo em xto1 não existe.

Resposta

Não existe o limite limxto1x^3-x-1(1-x)^3. Temos:
limxto1^-x^3-x-1(1-x)^3=-infty,
limxto1^+x^3-x-1(1-x)^3=+infty

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