O vetor posição de uma partícula é r=5 t imath+10 t a, com t em segundos e r em metros. (a) Trace a trajetória da partícula no plano xy. (b) Determine v na forma das componentes e calcule o respectivo módulo.

Passo 1

Beleza, amigo! A questão nos dá o vetor posição de uma partícula no plano xy:
r(t) = 5,t,hatimath + 10,t,hatjmath,
com em segundos e em metros.
Conteúdo: cinemática vetorial – trajetória paramétrica, derivada para achar velocidade e cálculo de módulo de vetor.
O que vamos precisar:
  • Escrever as equações paramétricas e .
  • Relacionar e para desenhar a trajetória.
  • Saber derivar e (princípio básico de derivada de função linear).
  • Calcular o módulo de um vetor usando Pitágoras.

Passo 2

Trajetória no plano xy
  1. A gente separa as componentes: x(t)=5t, y(t)=10t
  2. Para desenhar, elimina o parâmetro y = 10l(x5r) = 2x . Da primeira equação, .
  3. Substitui em :
Isso significa que a partícula anda sobre a reta , saindo da origem ( ) e indo na direção onde cresce duas vezes mais rápido que .

Passo 3

Velocidade vetorial vec v(t) = dvec rdt = ddtl(5t,hatimath + 10t,hatjmathr)
Por definição, ddt(5t)=5, ddt(10t)=10 é a derivada de vec v = 5,hatimath + 10,hatjmath em relação ao tempo:
Como e são funções lineares, suas derivadas são as constantes que multiplicam :
Logo,

Passo 4

Módulo da velocidade
O módulo de um vetor |vec v| = raizvx^2 + vy^2 é
|vec v| = raiz5^2 + 10^2 = raiz25 + 100 = raiz125 = 5raiz5,m/s
Aqui, e , então

Resposta

Trajetória: reta no plano xy, saindo da origem.
Velocidade:
Módulo:

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