O vetor posição de uma partícula é
, com
segundos e
em metros. (a) Trace a trajetória da partícula no plano xy. (b) Determine
na forma das componentes e calcule o respectivo módulo.
Passo 1
Beleza, amigo! A questão nos dá o vetor posição de uma partícula no plano xy:
com
em segundos e
em metros.
Conteúdo: cinemática vetorial – trajetória paramétrica, derivada para achar velocidade e cálculo de módulo de vetor.
O que vamos precisar:
Conteúdo: cinemática vetorial – trajetória paramétrica, derivada para achar velocidade e cálculo de módulo de vetor.
O que vamos precisar:
- Escrever as equações paramétricas
e . - Relacionar
e para desenhar a trajetória. - Saber derivar
e (princípio básico de derivada de função linear). - Calcular o módulo de um vetor usando Pitágoras.
Passo 2
Trajetória no plano xy
- A gente separa as componentes:
- Para desenhar, elimina o parâmetro
. Da primeira equação, . - Substitui em
:
Isso significa que a partícula anda sobre a reta
, saindo da origem (
) e indo na direção onde
cresce duas vezes mais rápido que
.
Passo 3
Velocidade vetorial
Por definição, é a derivada de
em relação ao tempo:
Por definição,
Como
e
são funções lineares, suas derivadas são as constantes que multiplicam
:
Logo,
Passo 4
Módulo da velocidade
O módulo de um vetor é
O módulo de um vetor
Aqui,
e
, então
Resposta
Trajetória: reta
no plano xy, saindo da origem.
Velocidade:
Módulo:
Velocidade:
Módulo: