Um vetor \vec{A} possui componentes A x=
18,5 \mathrm{~cm} e A y=23,4 \mathrm{~cm}; um vetor \vec{B}
possui módulo 3,2 cm e sua direção é tal que forma um ângulo de 13,9^{\circ} com o eixo x positivo (medido no sentido antihorário). Determine, em cm, o módulo do vetor diferença: \vec{A}-\vec{B}

Passo 1

O enunciado pede o módulo do vetor diferença \vec{A}-\vec{B}. As informações dadas são:
A_x=18,5\\ \mathrm{cm},\qquad A_y=23,4\\ \mathrm{cm},
|\vec{B}|=3,2\\ \mathrm{cm},\qquad \theta_B=13,9^\circ\\ \text{(a partir do eixo \(x\) positivo, sentido antihorário).}á
Portanto devemos: (i) escrever as componentes de \vec{B}, (ii) calcular as componentes de \vec{A}-\vec{B} e (iii) obter o módulo de \vec{A}-\vec{B} usando essas componentes.

Passo 2

Como se decompõe um vetor conhecido seu módulo e seu ângulo: Se um vetor tem módulo |\vec{V}| e faz um ângulo \theta com o eixo x positivo (sentido antihorário), suas componentes cartesianas são
V_x = |\vec{V}|\cos\theta,\qquad V_y = |\vec{V}|\sin\theta.
Aqui \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo em graus. Aplicando isso a \vec{B} obtemos:
B_x = 3,2\cos(13,9^\circ),\qquad B_y = 3,2\sin(13,9^\circ).
Agora calculamos numericamente \cos(13,9^\circ) e \sin(13,9^\circ). Valores aproximados (usando uma calculadora trigonométrica) são
\cos(13,9^\circ)\approx 0,970718,\qquad \sin(13,9^\circ)\approx 0,240230.
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B_x \approx 3,2\cdot 0,970718 \approx 3,1063\\ \mathrm{cm},
B_y \approx 3,2\cdot 0,240230 \approx 0,7687\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

As componentes do vetor diferença \vec{A}-\vec{B} são obtidas subtraindo componente a componente:
(\vec{A}-\vec{B})_x = A_x - B_x,\qquad (\vec{A}-\vec{B})_y = A_y - B_y.
Substituindo os valores:
(\vec{A}-\vec{B})_x \approx 18,5 - 3,1063 = 15,3937\\ \mathrm{cm},
(\vec{A}-\vec{B})_y \approx 23,4 - 0,7687 = 22,6313\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Para obter o módulo de um vetor a partir de suas componentes usamos o Teorema de Pitágoras (distância no plano): se \vec{V}=(V_x,V_y) então
|\vec{V}|=\sqrt{V_x^2+V_y^2}.
Aplicando a \vec{A}-\vec{B}:
|\vec{A}-\vec{B}|=\sqrt{(15,3937)^2+(22,6313)^2}.
Calculamos os quadrados (mostrando os valores aproximados):
(15,3937)^2 \approx 236,9661,
(22,6313)^2 \approx 512,1741.
Somando:
236,9661+512,1741\approx 749,1402.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{749,1402}\approx 27,3704\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Arredondando de forma apropriada (valores dados com uma ou duas casas decimais), podemos apresentar o módulo com duas casas decimais:
|\vec{A}-\vec{B}|\approx 27,37\\ \mathrm{cm}.

Resposta

27,37\\ \mathrm{cm}

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