O vetor \vec{x} que é solução do sistema de equações
\left\{\begin{array}{l} \vec{x} \times \vec{j}=\vec{k} \\\ \vec{x} \cdot(4 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k})=10 \end{array}\right.
é
\vec{x}=(1,-3,0)
\vec{x}=(1,-7,0)
\vec{x}=(1,6,-1)
\vec{x}=(1,6,1)
\vec{x}=(1,3,0)

Passo 1

O enunciado pede o vetor \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) que satisfaz simultaneously
\vec{x}\times\vec{j} = \vec{k}
e
\vec{x}\cdot(4\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) = 10.
O conteúdo usado será a definição de produto vetorial e de produto escalar em coordenadas.

Passo 2

Escrevendo \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{j}=(0,1,0), temos
\vec{x}\times\vec{j} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[6pt] x_1 & x_2 & x_3 \\[3pt] 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-x_3)\,\vec{i}+0\,\vec{j}+x_1\,\vec{k}.
Igualando a \vec{k}=(0,0,1) vem
-x_3=0,\quad x_1=1 \quad\Longrightarrow\quad x_3=0,\;x_1=1.]

Passo 3

Com x_1=1 e x_3=0, escrevemos \vec{x}=(1,x_2,0) na equação escalar:
\vec{x}\cdot(4\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}) = (1,x_2,0)\cdot(4,-2,1) =4 -2x_2 +0 =10.
Logo
4 -2x_2 =10 \quad\Longrightarrow\quad -2x_2=6 \quad\Longrightarrow\quad x_2=-3.

Resposta

\displaystyle \vec{x}=(1,-3,0)

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