Seja
um grupo. Para todos
com
; demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em um grupo
, que a inversa do produto de
elementos é o produto das inversas em ordem inversa. O conteúdo envolvido é a definição de inverso em grupo e a propriedade básica
que usaremos em seguida por indução em
.
Passo 2
Provar que para quaisquer
vale
Seja
. Então, usando a associatividade e a definição de inverso, temos:
e também
Como
satisfaz ambas as condições de inverso, concluímos que
.
Passo 3
Caso base
:
que é trivialmente verdadeiro.
Passo 4
Passo de indução. Suponha que para algum
valha
Considere então
fatores:
Aplicando o caso de dois elementos do Passo 2, obtemos
Isso completa a indução.