Seja (G, \square) um grupo. Para todos a_{i} \in G com 1 \leqslant i \leqslant n; demonstre que
\left(a_{1} \square a_{2} \square \ldots \square a_{n-1} \square a_{n}\right)^{\prime}=a_{n}^{\prime} \square a_{n-1}^{\prime} \square \ldots \square a_{2}^{\prime} \square a_{1}^{\prime} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um grupo (G,\square), que a inversa do produto de n elementos é o produto das inversas em ordem inversa. O conteúdo envolvido é a definição de inverso em grupo e a propriedade básica
(a \square b)' = b' \square a',
que usaremos em seguida por indução em n.

Passo 2

Provar que para quaisquer a,b\in G vale
(a \square b)' = b' \square a'.
Seja c = b' \square a'. Então, usando a associatividade e a definição de inverso, temos:
(a \square b)\square c = a \square \bigl(b \square (b' \square a')\bigr) = a \square \bigl((b \square b') \square a'\bigr) = a \square (e \square a') = a \square a' = e,
e também
c \square (a \square b) = (b' \square a') \square (a \square b) = b' \square \bigl(a' \square (a \square b)\bigr) = b' \square \bigl((a' \square a) \square b\bigr) = b' \square (e \square b) = b' \square b = e.
Como c satisfaz ambas as condições de inverso, concluímos que (a \square b)' = c = b' \square a'.

Passo 3

Caso base n=1:
(a_1)' = a_1',
que é trivialmente verdadeiro.

Passo 4

Passo de indução. Suponha que para algum n\ge1 valha
\bigl(a_{1}\square\cdots\square a_{n}\bigr)' = a_{n}'\square\cdots\square a_{1}'.
Considere então n+1 fatores:
\bigl(a_{1}\square\cdots\square a_{n}\square a_{n+1}\bigr)' = \bigl((a_{1}\square\cdots\square a_{n})\square a_{n+1}\bigr)'
Aplicando o caso de dois elementos do Passo 2, obtemos
= a_{n+1}' \square \bigl(a_{1}\square\cdots\square a_{n}\bigr)' = a_{n+1}' \square \bigl(a_{n}'\square\cdots\square a_{1}'\bigr) = a_{n+1}'\square a_{n}'\square\cdots\square a_{1}'.
Isso completa a indução.

Resposta

\bigl(a_{1}\square a_{2}\square \cdots \square a_{n}\bigr)' = a_{n}'\square a_{n-1}'\square \cdots \square a_{2}'\square a_{1}'.

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