Q1: Uma equação paramétrica do plano
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-2 x+5 y+3 z=-5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) (-1,1,-4)+t(-7,0,-3)+s(0,10,-16)
(B) \left(1,-1, \frac{8}{3}\right)+t(-6,0,-4)+s(0,-9,15)
(C) \left(1,-1, \frac{8}{3}\right)+t(-8,0,-2)+s(0,12,-18)
(D) \left(1,-1, \frac{2}{3}\right)+t(-7,0,-3)+s(0,10,-16)
(E) \left(1,-1, \frac{2}{3}\right)+t(-8,0,-2)+s(0,12,-18)
(F) (-1,1,-4)+t(-6,0,-4)+s(0,-9,15)

Passo 1

O enunciado pede uma forma paramétrica do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -2x+5y+3z=-5\},
ou seja, encontrar um ponto particular (x_0,y_0,z_0) que satisfaça -2x_0+5y_0+3z_0=-5 e dois vetores de direção \mathbf v_1 e \mathbf v_2 que satisfaçam a equação homogênea do plano
-2a+5b+3c=0,
para \mathbf v=(a,b,c). A partir daí a parametrização será
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\mathbf v_1+s\,\mathbf v_2.

Passo 2

Testamos quais pontos iniciais das alternativas satisfazem -2x+5y+3z=-5.
(A) e (F) usam (-1,1,-4):
-2(-1)+5\cdot1+3(-4)=2+5-12=-5\quad\checkmark.
(D) e (E) usam (1,-1,\tfrac23):
-2\cdot1+5(-1)+3\cdot\tfrac23=-2-5+2=-5\quad\checkmark.
(B) e (C) usam (1,-1,\tfrac83):
-2-5+8=1\neq -5\quad\text{errado.}
Logo eliminamos (B) e (C).

Passo 3

Para cada candidato restante, verificamos se ambos vetores de direção satisfazem
-2a+5b+3c=0.
Alternativa (A)/(D): primeiro vetor (-7,0,-3):
-2(-7)+5\cdot0+3(-3)=14-9=5\neq0,
eliminamos (A) e (D).
Alternativa (E): primeiro vetor (-8,0,-2):
-2(-8)+3(-2)=16-6=10\neq0,
eliminamos (E).

Passo 4

Só resta a alternativa (F) com ponto (-1,1,-4) e vetores \mathbf v_1=(-6,0,-4), \mathbf v_2=(0,-9,15). Verificamos:
-2(-6)+5\cdot0+3(-4)=12-12=0,\quad -2\cdot0+5(-9)+3\cdot15=-45+45=0,
logo ambos estão na direção do plano e são independentes.

Resposta

(F) (-1,1,-4)+t(-6,0,-4)+s(0,-9,15)

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