Determine o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ângulo entre os vetores
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
.
O que se quer: o valor do ânguloentre e (pode ser dado em radianos e/ou graus).
Passo 2
Método que vamos usar (fórmula e significado das quantidades).
A forma mais direta é usar o produto escalar: para dois vetores e
,
A forma mais direta é usar o produto escalar: para dois vetores
onde:
-
é o produto escalar (ou interno) entre os vetores; -
e são as normas (comprimentos) dos vetores; -
é o ângulo entre eles.
Rearranjando, a fórmula paraé
Vou calcular
, as normas
e
, substituir e obter
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Définição: se
e
, então
Aplicando aos nossos vetores:
Passo 4
Calcular as normas
e
. Fórmula:
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Substituir na fórmula do cosseno:
É útil obter também uma forma alternativa para
. Calculando
a partir de
:
Então
portanto uma forma exata conveniente é
Passo 6
Calcular aproximações numéricas para usar na prova (sem pular contas importantes). Primeiro o valor do cosseno já é
Usando
ou
obtemos a aproximação
(Dica prática: em provas você pode deixar a resposta exata
ou
e, se pedirem valor numérico, calcular com duas casas decimais:
ou
.)