Determine o ângulo entre os vetores \vec{A}=(1,2,2) e \vec{B}=(2,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre os vetores \vec{A}=(1,2,2) e \vec{B}=(2,0,1).
Informações dadas:
  • \vec{A}=(1,2,2).
  • \vec{B}=(2,0,1).
    O que se quer: o valor do ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B} (pode ser dado em radianos e/ou graus).

Passo 2

Método que vamos usar (fórmula e significado das quantidades).
A forma mais direta é usar o produto escalar: para dois vetores \vec{A} e \vec{B},
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta,
onde:
  • \vec{A}\cdot\vec{B} é o produto escalar (ou interno) entre os vetores;
  • |\vec{A}| e |\vec{B}| são as normas (comprimentos) dos vetores;
  • \theta é o ângulo entre eles.
    Rearranjando, a fórmula para \theta é
\cos\theta=\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}.
Vou calcular \vec{A}\cdot\vec{B}, as normas |\vec{A}| e |\vec{B}|, substituir e obter \theta.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}. Définição: se \vec{A}=(A_1,A_2,A_3) e \vec{B}=(B_1,B_2,B_3), então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3.
Aplicando aos nossos vetores:
\vec{A}\cdot\vec{B}=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=2+0+2=4.

Passo 4

Calcular as normas |\vec{A}| e |\vec{B}|. Fórmula: |\vec{V}|=\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2}.
Para \vec{A}:
|\vec{A}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Para \vec{B}:
|\vec{B}|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}.

Passo 5

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}=\dfrac{4}{3\sqrt{5}}.
É útil obter também uma forma alternativa para \theta. Calculando \sin\theta a partir de \cos\theta:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{16}{45}}=\sqrt{\dfrac{29}{45}}=\dfrac{\sqrt{29}}{3\sqrt{5}}.
Então
\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{29}}{3\sqrt{5}}}{\dfrac{4}{3\sqrt{5}}}=\dfrac{\sqrt{29}}{4},
portanto uma forma exata conveniente é
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{29}}{4}\right).

Passo 6

Calcular aproximações numéricas para usar na prova (sem pular contas importantes). Primeiro o valor do cosseno já é
\cos\theta=\dfrac{4}{3\sqrt{5}}\approx 0,596284794.
Usando \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{3\sqrt{5}}\right) ou \theta=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{29}}{4}\right) obtemos a aproximação
\theta\approx 0,932\\ \text{rad}\approx 53,40^\circ.
(Dica prática: em provas você pode deixar a resposta exata \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{3\sqrt{5}}\right) ou \arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{29}}{4}\right) e, se pedirem valor numérico, calcular com duas casas decimais: 0,932\\ \text{rad} ou 53,40^\circ.)

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{3\sqrt{5}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{29}}{4}\right)\approx 0,932\\ \text{rad}\approx 53,40^\circ

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