Um vetor \vec{V}_{1} tem módulo 4,5 \mathrm{~m} e está no plano y z fazendo 63^{\circ} com o eixo y. Outro vetor \vec{V}_{2} tem módulo 1,4 \mathrm{~m} e está no plano x z fazendo 30^{\circ} com o eixo x. Determine \vec{V}_{1}, \vec{V}_{2}, V_{1} \times V_{2} e o ângulo entre eles.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
Um vetor \vec{V}_{1} tem módulo \;4,5\\ \mathrm{m} e está no plano y z, fazendo \;63^\circ com o eixo y.
Um vetor \vec{V}_{2} tem módulo \;1,4\\ \mathrm{m} e está no plano x z, fazendo \;30^\circ com o eixo x.
Perguntas: determinar \vec{V}_{1} (componentes), \vec{V}_{2} (componentes), \vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2} e o ângulo entre \vec{V}_{1} e \vec{V}_{2}.
Observação: não há figura fornecida, então vou assumir que os ângulos são medidos no sentido que leva do primeiro eixo indicado para o segundo eixo do respectivo plano (isto é, em y z o ângulo de \;63^\circ parte do eixo y em direção ao eixo z com ambos componentes positivos; em x z o ângulo de \;30^\circ parte do eixo x em direção ao eixo z com ambos positivos). Se a orientação for outra na sua prova, o sinal de algumas componentes mudaria, mas o procedimento é o mesmo.
Passo 2
Como obter as componentes de um vetor conhecendo módulo e ângulo no plano:
Regra geral: se um vetor tem módulo \;V e faz ângulo \alpha com um eixo a, a componente ao longo de a é V\cos\alpha e a componente perpendicular (no plano) é V\sin\alpha. Isso vem da definição trigonométrica num triângulo retângulo: cateto adjacente = hipotenusa \times\cos, cateto oposto = hipotenusa \times\sin.
Aplicando ao problema:
\vec{V}_{1} está no plano y z. Logo sua componente x é nula: \;V_{1x}=0. Como o ângulo \;63^\circ é com o eixo y, as componentes são
(Observação didática: o produto vetorial é perpendicular a ambos os vetores e sua magnitude é |\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2}|=|\vec{V}_{1}||\vec{V}_{2}|\sin\theta.)
Passo 8
Determinar o ângulo entre \vec{V}_{1} e \vec{V}_{2} usando produto escalar:
Fórmula do produto escalar: \vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2}=|\vec{V}_{1}||\vec{V}_{2}|\cos\theta.
Calculamos \vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2} pelas componentes:
(Dica: na prova calcule o cosseno e depois use a função arccos para obter o ângulo; com os valores dados dá um número bem próximo de 63^\circ — aqui arredondei para uma casa decimal.)