Um vetor \vec{V}_{1} tem módulo 4,5 \mathrm{~m} e está no plano y z fazendo 63^{\circ} com o eixo y. Outro vetor \vec{V}_{2} tem módulo 1,4 \mathrm{~m} e está no plano x z fazendo 30^{\circ} com o eixo x. Determine \vec{V}_{1}, \vec{V}_{2}, V_{1} \times V_{2} e o ângulo entre eles.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Um vetor \vec{V}_{1} tem módulo \;4,5\\ \mathrm{m} e está no plano y z, fazendo \;63^\circ com o eixo y.
  • Um vetor \vec{V}_{2} tem módulo \;1,4\\ \mathrm{m} e está no plano x z, fazendo \;30^\circ com o eixo x.
  • Perguntas: determinar \vec{V}_{1} (componentes), \vec{V}_{2} (componentes), \vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2} e o ângulo entre \vec{V}_{1} e \vec{V}_{2}.
Observação: não há figura fornecida, então vou assumir que os ângulos são medidos no sentido que leva do primeiro eixo indicado para o segundo eixo do respectivo plano (isto é, em y z o ângulo de \;63^\circ parte do eixo y em direção ao eixo z com ambos componentes positivos; em x z o ângulo de \;30^\circ parte do eixo x em direção ao eixo z com ambos positivos). Se a orientação for outra na sua prova, o sinal de algumas componentes mudaria, mas o procedimento é o mesmo.

Passo 2

Como obter as componentes de um vetor conhecendo módulo e ângulo no plano:
  • Regra geral: se um vetor tem módulo \;V e faz ângulo \alpha com um eixo a, a componente ao longo de a é V\cos\alpha e a componente perpendicular (no plano) é V\sin\alpha. Isso vem da definição trigonométrica num triângulo retângulo: cateto adjacente = hipotenusa \times\cos, cateto oposto = hipotenusa \times\sin.
Aplicando ao problema:
  • \vec{V}_{1} está no plano y z. Logo sua componente x é nula: \;V_{1x}=0. Como o ângulo \;63^\circ é com o eixo y, as componentes são
V_{1y} = 4,5\cos(63^\circ),\qquad V_{1z}=4,5\sin(63^\circ).
  • \vec{V}_{2} está no plano x z. Logo sua componente y é nula: \;V_{2y}=0. Como o ângulo \;30^\circ é com o eixo x, as componentes são
V_{2x}=1,4\cos(30^\circ),\qquad V_{2z}=1,4\sin(30^\circ).

Passo 3

Calcular \vec{V}_{1} numericamente (usar aproximações usuais para seno e cosseno):
  • Valores trigonométricos aproximados: \cos(63^\circ)\approx 0,4540 e \sin(63^\circ)\approx 0,8910.
  • Calculando:
V_{1y}=4,5\cdot 0,4540 = 2,043,
V_{1z}=4,5\cdot 0,8910 = 4,010.
  • Portanto, em forma de componentes (vetor linha com unidades):
\vec{V}_{1}=\langle 0,\;2,043,\;4,010\rangle\\ \mathrm{m}.
(Dica para prova: escreva primeiro a componente nula e depois calcule os dois outros usando \cos e \sin.)

Passo 4

Calcular \vec{V}_{2} simbolicamente e lembrar valores exatos conhecidos:
  • \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254 e \sin(30^\circ)=0,5.
  • Então
V_{2x}=1,4\cos(30^\circ)=1,4\cdot 0,8660254,
V_{2z}=1,4\cdot 0,5=0,7,
e V_{2y}=0.

Passo 5

Calcular numericamente \vec{V}_{2}:
V_{2x}=1,4\cdot 0,8660254 \approx 1,212,
V_{2z}=0,700.
Logo
\vec{V}_{2}=\langle 1,212,\;0,\;0,700\rangle\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Como calcular o produto vetorial \vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2}:
  • Use a expressão com determinante (regra de Sarrus / determinante 3×3):
\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ V_{1x} & V_{1y} & V_{1z} \\\ V_{2x} & V_{2y} & V_{2z} \end{vmatrix}.
  • Expandindo (e substituindo V_{1x}=0 e V_{2y}=0) obtemos as componentes:
(\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2})_x = V_{1y}V_{2z}-V_{1z}V_{2y} = V_{1y}V_{2z},
(\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2})_y = -(V_{1x}V_{2z}-V_{1z}V_{2x}) = V_{1z}V_{2x},
(\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2})_z = V_{1x}V_{2y}-V_{1y}V_{2x} = -V_{1y}V_{2x}.
Isso é útil: com muitos zeros fica bem simples.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular o produto vetorial:
  • Usando V_{1y}=2,043, V_{1z}=4,010, V_{2x}=1,212, V_{2z}=0,700:
(\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2})_x = 2,043\cdot 0,700 = 1,4301 \approx 1,430,
(\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2})_y = 4,010\cdot 1,212 = 4,8619 \approx 4,862,
(\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2})_z = -2,043\cdot 1,212 = -2,4770 \approx -2,477.
Portanto
\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2}=\langle 1,430,\;4,862,\;-2,477\rangle\\ \mathrm{m}^2.
(Observação didática: o produto vetorial é perpendicular a ambos os vetores e sua magnitude é |\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2}|=|\vec{V}_{1}||\vec{V}_{2}|\sin\theta.)

Passo 8

Determinar o ângulo entre \vec{V}_{1} e \vec{V}_{2} usando produto escalar:
  • Fórmula do produto escalar: \vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2}=|\vec{V}_{1}||\vec{V}_{2}|\cos\theta.
  • Calculamos \vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2} pelas componentes:
\vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2} = V_{1x}V_{2x} + V_{1y}V_{2y} + V_{1z}V_{2z}.
Com V_{1x}=0 e V_{2y}=0 isso vira simplesmente
\vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2} = V_{1z}V_{2z}.
  • Numericamente:
\vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2} = 4,010\cdot 0,700 = 2,807.
  • Como |\vec{V}_{1}|=4,5 e |\vec{V}_{2}|=1,4,
\cos\theta = \frac{\vec{V}_{1}\cdot\vec{V}_{2}}{|\vec{V}_{1}||\vec{V}_{2}|} = \frac{2,807}{4,5\cdot 1,4} = \frac{2,807}{6,3} \approx 0,445714.
  • Logo
\theta = \operatorname{arccos}(0,445714)\approx 63,5^\circ.
(Dica: na prova calcule o cosseno e depois use a função arccos para obter o ângulo; com os valores dados dá um número bem próximo de 63^\circ — aqui arredondei para uma casa decimal.)

Resposta

\vec{V}_{1}=\langle 0,\;2,043,\;4,010\rangle\\ \mathrm{m}
\vec{V}_{2}=\langle 1,212,\;0,\;0,700\rangle\\ \mathrm{m}
\vec{V}_{1}\times\vec{V}_{2}=\langle 1,430,\;4,862,\;-2,477\rangle\\ \mathrm{m}^2
\theta\approx 63,5^\circ

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