Para os vetores abaixo, calcule a cdot b, a times b, a, b,|a times b|, e o ângulo theta entre a e b.
a=2 i-3 j+4 k, b=5 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa calcular o produto escalar ( a cdot b), o produto vetorial ( a times b), as magnitudes de a e b, o módulo do produto vetorial ( |a times b|) e o ângulo entre os vetores theta. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto escalar, produto vetorial e fórmula do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Para nossos vetores:
a = 2i - 3j + 4k, b = 0i + 5j + 0k
Então:
a cdot b = (2)(0) + (-3)(5) + (4)(0) = 0 - 15 + 0 = -15

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. O produto vetorial resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais, e suas componentes são dadas pelo determinante de uma matriz:
a times b = i & j & k 2 & -3 & 4 0 & 5 & 0
Calculando o determinante:
a times b = i cdot ((-3)(0) - (4)(5)) - j cdot ((2)(0) - (4)(0)) + k cdot ((2)(5) - (-3)(0))
Simplificando:
a times b = i (-20) - j (0) + k (10) = -20i + 0j + 10k
Então:
a times b = -20i + 10k

Passo 4

Vamos achar as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vxi + vyj + vzk é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para a:
|a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29
Para b:
|b| = raiz0^2 + 5^2 + 0^2 = raiz25 = 5

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial |a times b|. Usamos a mesma fórmula de magnitude:
|a times b| = raiz(-20)^2 + 0^2 + 10^2 = raiz400 + 0 + 100 = raiz500 = 10raiz5

Passo 6

Por fim, vamos encontrar o ângulo theta entre os vetores a e b usando a fórmula do cosseno:
costheta = a cdot b|a|,|b|
Substituindo os valores que já calculamos:
costheta = -15raiz29 times 5 = -155raiz29 = -3raiz29
Então:
theta = cos^-1( -3raiz29 )

Resposta

a cdot b = -15, a times b = -20i + 10k, |a| = raiz29, |b| = 5, |a times b| = 10raiz5, theta = cos^-1( -3raiz29 )

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