Para os vetores abaixo, calcule , e o ângulo entre e b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa calcular o produto escalar (), o produto vetorial (), as magnitudes de e , o módulo do produto vetorial () e o ângulo entre os vetores . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto escalar, produto vetorial e fórmula do cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Para nossos vetores:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais, e suas componentes são dadas pelo determinante de uma matriz:
Calculando o determinante:
a times b = i cdot ((-3)(0) - (4)(5)) - j cdot ((2)(0) - (4)(0)) + k cdot ((2)(5) - (-3)(0))
Simplificando:
a times b = i (-20) - j (0) + k (10) = -20i + 0j + 10k
Então:
a times b = -20i + 10k
Passo 4
Vamos achar as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vxi + vyj + vzk é dada por: