Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
Passo 1
Temos a função . O objetivo é encontrar o domínio, as assíntotas verticais e as horizontais. Vamos precisar de conceitos básicos de função composta, limite e definição de assíntota.
Passo 2
Para o domínio, observe que está definido para todo , mas aqui temos , o que exige . Além disso, não há nenhuma outra restrição. Logo, o domínio é
Passo 3
Uma assíntota vertical em ocorre se ficar sem limite finito (tender a ) quando . Aqui só há problema em . Como oscila entre e , temos
Quando (ou ), , então é não limitado e oscila em amplitudes que explodem. Portanto, existe assíntota vertical em .
Passo 4
Para achar assíntotas horizontais, avaliamos . Note que , então para grande. Mais formalmente, usando o limite e o teorema do estrangulamento:
e 1/|x|to0. Logo
limxtopminftysin(1/x)x=0,
assim a reta y=0 é assíntota horizontal nos dois sentidos.
Passo 5
Não há outras descontinuidades nem outros comportamentos extremos além de x=0 e o infinito.