Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
sen(1x)x

Passo 1

Temos a função f(x)=sinl(1/xr)x. O objetivo é encontrar o domínio, as assíntotas verticais e as horizontais. Vamos precisar de conceitos básicos de função composta, limite e definição de assíntota.

Passo 2

Para o domínio, observe que sin(t) está definido para todo tinR, mas aqui temos t=1/x, o que exige xneq0. Além disso, não há nenhuma outra restrição. Logo, o domínio é
(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Uma assíntota vertical em x=a ocorre se f(x) ficar sem limite finito (tender a pminfty) quando xto a^pm. Aqui só há problema em x=0. Como sin(1/x) oscila entre -1 e 1, temos
-1|x|<=sin(1/x)x<=1|x|
Quando xto0^+ (ou 0^-), 1/|x|to+infty, então f(x) é não limitado e oscila em amplitudes que explodem. Portanto, existe assíntota vertical em x=0.

Passo 4

Para achar assíntotas horizontais, avaliamos xtopminfty. Note que 1/xto0, então sin(1/x)sim1/x para x grande. Mais formalmente, usando o limite e o teorema do estrangulamento:
|sin(1/x)x|<=1|x|,
e 1/|x|to0. Logo
limxtopminftysin(1/x)x=0,
assim a reta y=0 é assíntota horizontal nos dois sentidos.

Passo 5

Não há outras descontinuidades nem outros comportamentos extremos além de x=0 e o infinito.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty). Assíntota vertical: x=0. Assíntota horizontal: y=0.

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