Sendo G=(2 x-y) ax+(4 y+z) ay+(4 x-2 z) az, determine: (a) um vetor unitário que represente a direção de G no ponto P(1,1,1); (b) o lugar geométrico dos pontos para os quais a direção de G é a mesma do vetor ax+ay+az.

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas sobre o campo vetorial
vec G(x,y,z) = (2x - y),hat ax + (4y + z),hat ay + (4x - 2z),hat az
Conteúdo: vetores, norma de vetor, vetor unitário e condição de vetores paralelos.
O que vamos usar:
  • Como avaliar o campo vetorial num ponto.
  • Como obter a norma de um vetor: .
  • Como formar um vetor unitário: .
  • Condição de vetores paralelos: significa .

Passo 2

Parte (a): calcular vec G(1,1,1)=(2cdot1-1,,4cdot1+1,,4cdot1-2cdot1) =(1,,5,,2) em |vec G(1,1,1)| =raiz1^2+5^2+2^2 =raiz1+25+4 =raiz30 e então achar o vetor unitário.
  1. Avaliando componentes:
hat G =vec G(1,1,1)|vec G(1,1,1)| =1raiz30,(1,,5,,2)
  1. Norma de :
  1. Vetor unitário na direção de :

Passo 3

Parte (b): queremos os pontos (2x-y,,4y+z,,4x-2z)=l(lambda,lambda,lambdar) onde a direção de 2x - y = lambda, 4y + z = lambda, 4x - 2z = lambda é a mesma de , ou seja .
Isso significa existir escalar tal que
Logo temos o sistema

Passo 4

Resolver o sistema eliminando 2x - y = 4y + z Longrightarrow 2x -5y - z = 0 :
  1. Igualando 1ª e 2ª equações:
2x - y = 4x -2z Longrightarrow -2x - y + 2z = 0 Longrightarrow 2x + y -2z = 0
  1. Igualando 1ª e 3ª equações:
2x - 5y - z = 0, 2x + y - 2z = 0
Temos então o sistema de duas equações lineares:
2x -5y - 2x+y2=0 ;Longrightarrow; 4x -10y -2x - y=0 ;Longrightarrow; 2x -11y=0 ;Longrightarrow; x=tfrac112,y
  1. Da 2ª: (x,y,z)=l(tfrac112t,;t,;6tr), tin R, . Substituindo na 1ª:
  1. Então .
    Tomando , obtemos os pontos
ou seja, a reta de interseção das duas superfícies.

Resposta

(a) .
(b) O lugar geométrico é a reta
,
que equivale à interseção dos planos e .

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