Sendo , determine: (a) um vetor unitário que represente a direção de no ponto ; (b) o lugar geométrico dos pontos para os quais a direção de é a mesma do vetor .
Passo 1
O enunciado nos pede duas coisas sobre o campo vetorial
Conteúdo: vetores, norma de vetor, vetor unitário e condição de vetores paralelos.
O que vamos usar:
Como avaliar o campo vetorial num ponto.
Como obter a norma de um vetor: .
Como formar um vetor unitário: .
Condição de vetores paralelos: significa .
Passo 2
Parte (a): calcular em e então achar o vetor unitário.
Avaliando componentes:
Norma de :
Vetor unitário na direção de :
Passo 3
Parte (b): queremos os pontos onde a direção de é a mesma de , ou seja .
Isso significa existir escalar tal que
Logo temos o sistema
Passo 4
Resolver o sistema eliminando 2x - y = 4y + z Longrightarrow 2x -5y - z = 0 :
Igualando 1ª e 2ª equações:
2x - y = 4x -2z Longrightarrow -2x - y + 2z = 0 Longrightarrow 2x + y -2z = 0