(Vetores com componente constante) Em sistemas bidimensionais, algumas variáveis podem permanecer constantes. Considere o conjunto:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pergunta se, com as operações usuais de
, esse conjunto forma um espaço vetorial. Para responder, vamos aplicar os critérios de subespaço de um espaço vetorial:
- O vetor nulo deve estar em
. -
deve ser fechado sob adição. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo de
, que é
, pertence a
. Como em
todo ponto tem a segunda componente igual a
, o vetor
não satisfaz
. Logo,
Passo 3
Mesmo que o vetor nulo já falhe, vamos checar fechamento sob adição para reforçar o argumento. Tome dois vetores arbitrários em
:
A soma é
Vemos que a segunda componente vale
, portanto
. Falha o fechamento sob adição.
Passo 4
Para fechamento sob multiplicação por escalar, considere um vetor
e um escalar
. Temos
Para que
ficasse em
, precisaríamos de
, ou seja,
. Como essa igualdade não vale para escalar genérico, o conjunto não é fechado sob multiplicação.
Resposta
Não. O conjunto
não contém o vetor nulo e falha tanto no fechamento sob adição quanto no fechamento sob multiplicação por escalar, logo não é um espaço vetorial.