(Vetores com componente constante) Em sistemas bidimensionais, algumas variáveis podem permanecer constantes. Considere o conjunto:
K=(x, y) in R^2 mid y=5
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
K = (x,y)inR^2 mid y = 5
e pergunta se, com as operações usuais de R^2, esse conjunto forma um espaço vetorial. Para responder, vamos aplicar os critérios de subespaço de um espaço vetorial:
  1. O vetor nulo deve estar em K.
  2. K deve ser fechado sob adição.
  3. K deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo de R^2, que é (0,0), pertence a K. Como em K todo ponto tem a segunda componente igual a 5, o vetor (0,0) não satisfaz y=5. Logo,
(0,0)notin K

Passo 3

Mesmo que o vetor nulo já falhe, vamos checar fechamento sob adição para reforçar o argumento. Tome dois vetores arbitrários em K:
u = (x1,5), v = (x2,5)
A soma é
u+v = (x1+x2,;5+5) = (x1+x2,,10)
Vemos que a segunda componente vale 10neq5, portanto u+vnotin K. Falha o fechamento sob adição.

Passo 4

Para fechamento sob multiplicação por escalar, considere um vetor u=(x,5)in K e um escalar lambdainR. Temos
lambda,u = (lambda x,;lambdacdot5) = (lambda x,;5lambda)
Para que lambda u ficasse em K, precisaríamos de 5lambda = 5, ou seja, lambda=1. Como essa igualdade não vale para escalar genérico, o conjunto não é fechado sob multiplicação.

Resposta

Não. O conjunto K não contém o vetor nulo e falha tanto no fechamento sob adição quanto no fechamento sob multiplicação por escalar, logo não é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados