(Equações de estado em sistemas elétricos) Em sistemas elétricos, certas condições de equilibrio podem ser expressas por equações lineares. Considere o conjunto:
E=(x, y, z) in R^3 mid 2 x+y-3 z=0
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
E = (x,y,z)in R^3 mid 2x+y-3z=0
e pergunta se ele é um espaço vetorial, ou seja, se é um subespaço de R^3. Para isso, vamos verificar as três propriedades: conter o vetor nulo, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo pertence a E. Tomando (0,0,0), temos
2cdot 0 + 0 - 3cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in E.

Passo 3

Verificamos fechamento sob soma. Sejam (x1,y1,z1)in E e (x2,y2,z2)in E. Então
2x1 + y1 - 3z1 = 0 e 2x2 + y2 - 3z2 = 0
Somando as duas igualdades:
2(x1+x2) + (y1+y2) - 3(z1+z2) = 0,
o que mostra que (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)in E.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e (x,y,z)in E. Então
2(alpha x) + (alpha y) - 3(alpha z) = alpha,(2x + y - 3z) = alphacdot 0 = 0,
logo (alpha x,alpha y,alpha z)in E.

Resposta

Sim, E é um subespaço de R^3 e portanto pode ser considerado um espaço vetorial.

Exercícios relacionados