Vetores contra e covariantes III. Considere a transformação do sistema retangular para o sistema de coordenadas
definida por,
onde os valores possíveis para
e
estão entre
e
. © Construa a base de vetores tangentes e a base dual e verifique elas são diferentes.
Passo 1
Beleza, então a questão pede pra gente, dado o sistema
x = u + v, y = u − v, z = 2uv + w
construir (a) a base de vetores tangentes ∂/∂u, ∂/∂v, ∂/∂w e (b) a base dual du, dv, dw, e mostrar que elas são diferentes.
O conteúdo é coordenadas e bases em geometria diferencial – a gente vai precisar do Jacobiano (derivadas parciais) e de inverter matriz pra achar a base dual.
x = u + v, y = u − v, z = 2uv + w
construir (a) a base de vetores tangentes ∂/∂u, ∂/∂v, ∂/∂w e (b) a base dual du, dv, dw, e mostrar que elas são diferentes.
O conteúdo é coordenadas e bases em geometria diferencial – a gente vai precisar do Jacobiano (derivadas parciais) e de inverter matriz pra achar a base dual.
Passo 2
Vamos achar primeiro a base de vetores tangentes, que são só os vetores ∂X/∂u, ∂X/∂v e ∂X/∂w em termos de (x,y,z).
X(u,v,w) = (x,y,z) = (u+v, u−v, 2uv + w).
Então:
∂X/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) = (1, 1, 2v)
∂X/∂v = (∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v) = (1, −1, 2u)
∂X/∂w = (∂x/∂w, ∂y/∂w, ∂z/∂w) = (0, 0, 1)
X(u,v,w) = (x,y,z) = (u+v, u−v, 2uv + w).
Então:
∂X/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) = (1, 1, 2v)
∂X/∂v = (∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v) = (1, −1, 2u)
∂X/∂w = (∂x/∂w, ∂y/∂w, ∂z/∂w) = (0, 0, 1)
Passo 3
Agora a gente monta a matriz Jacobiana J com essas derivadas:
J = ⎡1 1 0⎤
⎣1 −1 0⎦
⎣2v 2u 1⎦
para inverter e achar ∂u/∂x etc. A gente calcula det J = −2 e a inversa J⁻¹ dá:
J⁻¹ =
⎡ 1/2 1/2 −(u+v)⎤
⎢ 1/2 −1/2 (u−v)⎥
⎣ 0 0 1 ⎦
Isso significa que:
du = ½ dx + ½ dy − (u+v) dz
dv = ½ dx − ½ dy + (u−v) dz
dw = dz
J = ⎡1 1 0⎤
⎣1 −1 0⎦
⎣2v 2u 1⎦
para inverter e achar ∂u/∂x etc. A gente calcula det J = −2 e a inversa J⁻¹ dá:
J⁻¹ =
⎡ 1/2 1/2 −(u+v)⎤
⎢ 1/2 −1/2 (u−v)⎥
⎣ 0 0 1 ⎦
Isso significa que:
du = ½ dx + ½ dy − (u+v) dz
dv = ½ dx − ½ dy + (u−v) dz
dw = dz
Passo 4
Pronto, temos:
Base tangente = { e_u=(1,1,2v), e_v=(1,−1,2u), e_w=(0,0,1) }
Base dual = { du=½dx+½dy−(u+v)dz, dv=½dx−½dy+(u−v)dz, dw=dz }
Repara que uma é composta de vetores no espaço (componentes em x,y,z) e a outra de formas diferenciais (combinações de dx, dy, dz). Claramente elas não são as mesmas “coisa”, ou seja, são bases diferentes.
Base tangente = { e_u=(1,1,2v), e_v=(1,−1,2u), e_w=(0,0,1) }
Base dual = { du=½dx+½dy−(u+v)dz, dv=½dx−½dy+(u−v)dz, dw=dz }
Repara que uma é composta de vetores no espaço (componentes em x,y,z) e a outra de formas diferenciais (combinações de dx, dy, dz). Claramente elas não são as mesmas “coisa”, ou seja, são bases diferentes.
Resposta
Base tangente:
∂/∂u = (1,1,2v), ∂/∂v = (1,−1,2u), ∂/∂w = (0,0,1)
Base dual:
du = ½ dx + ½ dy − (u+v) dz, dv = ½ dx − ½ dy + (u−v) dz, dw = dz
Essas duas bases são diferentes.
∂/∂u = (1,1,2v), ∂/∂v = (1,−1,2u), ∂/∂w = (0,0,1)
Base dual:
du = ½ dx + ½ dy − (u+v) dz, dv = ½ dx − ½ dy + (u−v) dz, dw = dz
Essas duas bases são diferentes.