Verifique em cada caso se W é um subespaço de V.
V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), W=\left\{a+b x+c x^{2} \in V ; a b c=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),\quad W=\{\,a+b x+c x^{2}\in V \mid a b c=0\}
é subespaço de V. Para isso, precisamos checar:
  1. se o polinômio nulo está em W;
  2. se W é fechado sob multiplicação por escalar;
  3. se W é fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos o polinômio nulo \,0+0x+0x^2. Como 0\cdot0\cdot0=0, temos \mathbf{0}\in W. Logo, a condição de conter o vetor nulo está satisfeita.

Passo 3

Sejam \,p(x)=a+bx+cx^2\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,p(x) = (\alpha a) + (\alpha b)x + (\alpha c)x^2,
e o produto dos coeficientes é
(\alpha a)\,(\alpha b)\,(\alpha c) = \alpha^3\,(a b c).
Como a b c=0, segue \alpha^3\,(a b c)=0, logo \alpha p(x)\in W. Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Para testar a adição, escolhemos dois polinômios em W cujos produtos de coeficientes sejam zero, mas cuja soma não atenda a essa condição. Por exemplo:
p(x)=1 + 0\cdot x + 1\cdot x^2,\quad q(x)=0 + 1\cdot x + 1\cdot x^2.
Aqui p\in W pois 1\cdot0\cdot1=0 e q\in W pois 0\cdot1\cdot1=0. Porém,
p(x)+q(x) = (1+0) + (0+1)x + (1+1)x^2 = 1 + x + 2x^2,
e o produto dos coeficientes é
1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \neq 0,
logo p+q\notin W. Portanto, W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço de V.

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